Найдем интеграл: \( \int \frac{x}{3+2x^2}dx \)
Решение: числитель дроби \( x \) - производная от \( x^2 \) , поэтому введем замену \( t = 3 + 2x^2 => dt = 4xdx => \frac{dt}{4} = xdx \) $$ \int\frac{x}{3+2x^2}dx = $$ подставляем замену $$ \int\frac{1}{4t}dt =$$ применяем табличную формулу интеграла обратной функции \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C\), получаем $$ = \frac{1}{4}\ln(t) +C = $$ применяем обратную замену $$ = \frac{1}{4}\ln( 3 + 2x^2) +C$$
Ответ: \( \int \frac{x}{3+2x^2}dx = \frac{1}{4}\ln( 3 + 2x^2) +C \)
