Найдем интеграл: \( \int \frac{ \sqrt{x^{4}}+x}{\sqrt{x}}dx \)
Решение: проведем преобразования $$ \int \frac{ \sqrt{x^{4}}+x}{\sqrt{x}}dx = \int \frac{ x^2+x}{\sqrt{x}}dx = $$$$ = \int x^{ \frac{3}{2}}dx + \int x^{ \frac{1}{2}}dx$$
применяем табличную формулу интеграла степенной функции , получаем \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\), получаем $$ = \frac{1}{ \frac{3}{2}+1} t^{ \frac{3}{2}+1} + \frac{1}{ \frac{1}{2} +1}x^{ \frac{1}{2} +1} +C = \frac{2}{5} t^{ \frac{5}{2}} + \frac{2}{ 3}x^{ \frac{3}{2}} +C$$
Ответ: \( \int \frac{ \sqrt{x^{4}}+x}{\sqrt{x}}dx = \frac{2}{5} t^{ \frac{5}{2}} + \frac{2}{ 3}x^{ \frac{3}{2}} +C \)
