Найдем интеграл: \( \int \frac{x^2}{\sqrt{2-x^2}}dx \)
Решение: применим метод замены независимой переменной для решения интеграла \( x = \sqrt{2}\sin(t) => dx = \sqrt{2}\cos(t)dt \), получаем $$ \int \frac{x^2}{\sqrt{2-x^2}}dx = \int \frac{2\sin^2(t)}{\sqrt{2-2\sin^2(t)}}\sqrt{2}\cos(t)dt = $$$$ = \int \frac{2\sin^2(t)}{\sqrt{2}\cos(t)}\sqrt{2}\cos(t)dt = \int 2\sin^2(t)dt =$$ применим метод понижения степени синуса, применим формулу косинуса двойного угла \( \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) =>2\sin^2(x) = 1-\cos(2x)\) $$ = \int (1-\cos(2t))dt = t - \frac{1}{2}\sin(2t) + C$$ применяем обратную замену \( x = \sqrt{2}\sin(t) => t = \arcsin( \frac{x}{ \sqrt{2}})\) $$ = \arcsin( \frac{x}{ \sqrt{2}}) - \frac{1}{2}\sin(2 \arcsin( \frac{x}{ \sqrt{2}})) + C =$$ применим формулу синуса двойного угла \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) = 2\sin(x)\sqrt{1 - \sin^2(x)}\), получим $$ = \arcsin( \frac{x}{ \sqrt{2}}) - \frac{1}{2}2\sin(\arcsin( \frac{x}{ \sqrt{2}}))\sqrt{1 - \sin^2(\arcsin( \frac{x}{ \sqrt{2}})} + C = $$$$ = \arcsin( \frac{x}{ \sqrt{2}}) - \frac{x}{ \sqrt{2}}\sqrt{1 - \frac{x^2}{2}} + C$$
Ответ: \(\int \frac{x^2}{\sqrt{2-x^2}}dx = \arcsin( \frac{x}{ \sqrt{2}}) - \frac{x}{ \sqrt{2}}\sqrt{1 - \frac{x^2}{2}} + C \)
