Найдем интеграл: \( \int \frac{x^3-3x^2+4}{x^3+4x}dx \)
Решение: проведем преобразования $$ \int \frac{x^3-3x^2+4}{x^3+4x}dx = \int \frac{x^3}{x^3+4x}dx - \int \frac{3x^2}{x^3+4x}dx + \int \frac{4}{x^3+4x}dx \quad (1)$$ Найдем отдельно каждый интеграл:
первый интеграл:
$$ \int \frac{x^3}{x^3+4x}dx = \int \frac{x^2}{x^2+4}dx = $$$$ = \int \frac{x^2+4-4}{x^2+4}dx = \int dx - \int \frac{4}{x^2+4}dx = $$ применяем формулу табличного интеграла \( \int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}arctg(\frac{x}{a})+C\), получаем $$ = x - 4*\frac{1}{2}arctg( \frac{x}{2}) + C = x - 2arctg( \frac{x}{2}) + C$$
второй интеграл:
$$ \int \frac{3x^2}{x^3+4x}dx = \int \frac{3x}{x^2+4}dx$$ применяем замену \( t^2 = x^2 + 4 => 2tdt = 2xdx => tdt = xdx \), подставляем $$ = 3 \int \frac{t}{t^2}dt = 3 \int \frac{dt}{t} = $$ применяем формулу интеграла от обратной функции \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C\), получаем $$ = 3 \ln(t) + C = $$ применяем обратную замену \( t = \sqrt{x^2+4} \)$$ = 3 \ln( \sqrt{x^2+4}) + C = \frac{3}{2} \ln(x^2+4) + C $$
третий интеграл:
$$\int \frac{4}{x^3+4x}dx = \int \frac{4}{x(x^2+4)}dx = $$применяем метод неопределенных коэффициентов \( \frac{4}{x(x^2+4)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+4} => \frac{4}{x(x^2+4)} = \frac{Ax^2+4A+Bx^2+Cx}{x(x^2+4)} = \) сравниваем коэффициенты многочленов в числителях равных дробей и находим неизвестные константы $$\begin{cases}4A = 4\\ C = 0 \\ A+B =0\end{cases}=> \begin{cases}A = 1\\ C = 0 \\ B =-1\end{cases}$$ получаем $$\int \frac{4}{x(x^2+4)}dx = \int ( \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+4})dx = \ln(x) - \frac{1}{2}\ln(x^2+4)+ C $$
Подставляем в (1) $$ = x - 2arctg( \frac{x}{2}) - \frac{3}{2} \ln(x^2+4) + \ln(x) - \frac{1}{2}\ln(x^2+4)+ C =$$$$ = x - 2arctg( \frac{x}{2}) - 2 \ln(x^2+4) + \ln(x) + C$$
Ответ: \( \int \frac{x^3-3x^2+4}{x^3+4x}dx = x - 2arctg( \frac{x}{2}) - 2 \ln(x^2+4) + \ln(x) + C \)
