Найти производную функции$$\begin{cases}x = \sqrt{t^2+1}\\ y =\frac{t-1}{ \sqrt{t^2+1}}\end{cases}$$

Найдем производную параметрически заданной функции \(\begin{cases}x = \sqrt{t^2+1}\\ y =\frac{t-1}{ \sqrt{t^2+1}}\end{cases}  \)
1. Применим формулу производной параметрически заданной функции \(y(x)' = \frac{y'(t)}{x'(t)}\)
$$y'(x)= \frac{(\frac{t-1}{ \sqrt{t^2+1}})'}{( \sqrt{t^2+1})'}= \quad (1)$$
Находим отдельно производные числителя и знаменателя
2. Производная числителя:
применим формулу производной дроби \( (\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x)}{(g(x))^2}\)
$$(\frac{t-1}{ \sqrt{t^2+1}})' = \frac{\sqrt{t^2+1} - (t-1)\frac{2t}{2\sqrt{t^2+1}}}{ (\sqrt{t^2+1})^2} = $$$$ = \frac{\sqrt{t^2+1} - (t-1)\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}}{ t^2+1} = \frac{t^2+1 - (t-1)t}{ (t^2+1)^{ \frac{3}{2}}} = $$$$ = \frac{t+1}{ (t^2+1)^{ \frac{3}{2}}} \quad (2)$$
3. Производная знаменателя:
$$(\sqrt{t^2+1})' = \frac{2t}{2 \sqrt{t^2+1}} = \frac{t}{ \sqrt{t^2+1}} \quad (3)$$
4. Подставляем результаты (2) и (3) в (1)
$$(1) = \frac{\frac{t+1}{ (t^2+1)^{ \frac{3}{2}}} }{ \frac{t}{ \sqrt{t^2+1}} } = \frac{t+1}{ t(t^2+1)} $$

Ответ: \( y'_x =  \frac{t+1}{ t(t^2+1)} \)