В задаче необходимо найти вероятность события: выпало 6 очков обозначим за \(A\) в серии из 4 испытаний не менее 3 раз. Т.е. нужно найти вероятность двух событий выпадения 6 очков в 3-х испытаниях - обозначим как событие \(B\) и в 4-х испытаниях - обозначим как событие \(C\) серии. Все испытания у нас независимые. Согласно Классического определения вероятности Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта в котором может появиться это событие. В нашем случае всего 6 возможных исходов (6 граней у кубика \(n=6\)) и 1 благоприятствующее (\(m=1\)), т.е. вероятность события \(A\) равна \(p(A)=\frac{m}{n}=\frac{1}{6}\). Для нахождения вероятности наступления события \(A\) в серии независимых испытаний применим формулу Бернулли $$P_{n,k}=C_n^kp^kq^{n-k}$$где \(n\) - независимые испытания \(n=6\), \(k\) - количество наступивших событий (3 или 4 раза выпало 6 очков, т.е. два случая \(m=3\) событие \(B\), \(m=4\) событие \(C\)), \(p\) - вероятность наступления события \(A\), где \(p(A)=\frac{1}{6}\), \(q= 1-p=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\) - вероятность противоположного события (т.е. выпало количество очков не равное 6). Подставим в формулу Бернулли $$P(B)_{4,3}=C_4^3(\frac{1}{6})^3(\frac{5}{6})^{4-3} =\frac{4!}{3!(4-3)!}\frac{1}{6^3}\frac{5}{6}=\frac{20}{6^4}$$$$P(C)_{4,4}=C_4^4(\frac{1}{6})^4(\frac{5}{6})^{4-4} =\frac{1}{6^4}$$ получили две вероятности - наступления событий \(B\) и \(C\). Для нахождения вероятности события \(P(B+C\) применим теорему сложения вероятностей. Т.к. события не зависимые, то $$P(B+C)=P(B)+P(C)$$ подставим значения $$P(B+C)=P(B)_{4,3}+P(C)_{4,4}=\frac{20}{6^4}+\frac{1}{6^4}=\frac{21}{6^4}=\frac{6}{432} = \frac{1}{72}$$
Ответ: вероятность выпадения в серии из 4-х испытаний 6 очков не менее 3-х раз равна \(P(B+C)=\frac{1}{72}\)
