Найдем первую производную функции заданной неявно \( e^y = xy + \sin(y)\).
Производную будем искать по \(x\) - независимая переменная, при этом помним, что \(y\) - функция от \(x\), т.е. \(y = f(x)\).
Дифференцируем обе части равенства $$ (e^y)'= (xy + \sin(y))' => e^y*y' = y + xy' + y'\cos(y) $$ Решаем равенство относительно \(y'\), получаем $$ y' = \frac{y}{ e^y-x-\cos(y)}$$
Первую производную можно было найти по формуле $$y'_x = -\frac{F'_x(x;y)}{F'_y(x;y)}$$ где \(F(x;y) = e^y - xy - \sin(y)\). При этом учитываем, что \(x\) и \(y\) - две независимые переменные
Найдем частную производную по \(x\): \(F'_x(x;y)\), получаем $$F'_x = -y$$
Найдем частную производную по \(y\): \(F'_y(x;y)\), получаем $$F'_y = e^y - x - \cos(y)$$
Подставляем в формулу (1) $$y'_x = -\frac{F'_x(x;y)}{F'_y(x;y)} = - \frac{ - y}{e^y - x - \cos(y)} = \frac{y}{e^y - x - \cos(y)}$$
2. Ответ:
первая производная фнекции, заданной неявно \( e^y = xy + \sin(y)\) равна \( y'_x = \frac{y}{e^y - x - \cos(y)} \)
