Найдем производную функции: \( y = (ctg(x))^{\cos(2x)} \)
Решение: найдем производную методом логарифмирования, т.е. воспользуемся формулой основного логарифмического тождества \( a^{ \log_ax} = x\), получаем $$ y = (ctg(x))^{\cos(2x)} = e^{ \ln(ctg(x))^{\cos(2x)}} = e^{ \cos(2x)*\ln(ctg(x))}$$Теперь воспользуемся формулой производной показательной функции \( (a^x)' = a^x*\ln a \) и производной сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)\), получаем $$ y' = ((ctg(x))^{\cos(2x)})' = (e^{ \cos(2x)*\ln(ctg(x))})' = $$$$ = e^{ \cos(2x)*\ln(ctg(x))} *( \cos(2x)*\ln(ctg(x)))' = (ctg(x))^{\cos(2x)}*( \cos(2x)*\ln(ctg(x)))' = \quad (1)$$Для нахождения производной, воспользуемся формулой производной произведения \( ( \cos(2x)*\ln(ctg(x)))' = (\cos(2x))'*\ln(ctg(x)) + \cos(2x)*(\ln(ctg(x)))' =\) \(= -2\sin(2x)\ln(ctg(x)) - \cos(2x)*\frac{1}{ctg(x)}*\frac{1}{ \sin^2x} \). Подставляем в (1), получаем $$ (1) = (ctg(x))^{\cos(2x)}*(-2\sin(2x)\ln(ctg(x)) - \cos(2x)*\frac{1}{ctg(x)}*\frac{1}{ \sin^2x}) = $$$$ = (ctg(x))^{\cos(2x)}*(- 2\sin(2x)\ln(ctg(x)) -tg(x)*\frac{\cos^2(x)) - \sin^2(x)}{ \sin^2x} ) = $$$$ = (ctg(x))^{\cos(2x)}*(- 2\sin(2x)\ln(ctg(x)) -ctg(x) + tg(x) ) $$Ответ: \( y' = ((ctg(x))^{\cos(2x)})' = (ctg(x))^{\cos(2x)}*(- 2\sin(2x)\ln(ctg(x)) -ctg(x) + tg(x) )\)
