Найдем предел: $$ \lim_{ x \to \infty} ( \sqrt{ x^2 + 3x-2} - \sqrt{x^2-3}) $$
Решение: найдем предел \( \lim_{ x \to \infty} ( \sqrt{ x^2 + 3x-2} - \sqrt{x^2-3}) = \infty - \infty \), получили неопределенность. Проведем следующее преобразование - умножим и разделим на сопряженное, чтобы применить формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) $$ \lim_{ x \to \infty} ( \sqrt{ x^2 + 3x-2} - \sqrt{x^2-3}) = \lim_{ x \to \infty} ( \sqrt{ x^2 + 3x-2} - \sqrt{x^2-3})*\frac{ \sqrt{ x^2 + 3x-2} + \sqrt{x^2-3}}{ \sqrt{ x^2 + 3x-2} + \sqrt{x^2-3}} = $$$$ = \lim_{ x \to \infty} \frac{ x^2 + 3x - 2 - x^2 +3}{ \sqrt{ x^2 + 3x-2} + \sqrt{x^2-3}} = \lim_{ x \to \infty} \frac{3x + 1}{ \sqrt{ x^2 + 3x-2} + \sqrt{x^2-3}} =$$вынесем из числителя и знаменателя переменную \(x\) - в наибольшей степени: \( x\), получаем $$ = \lim_{ x \to \infty} \frac{x}{x} \frac{3 + \frac{1}{x}}{ \sqrt{ 1 + \frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}} + \sqrt{1-\frac{3}{x^2}}} = \lim_{ x \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{x}}{ \sqrt{ 1 + \frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}} + \sqrt{1-\frac{3}{x^2}}} = $$$$ = \frac{3 + \frac{1}{ \infty}}{ \sqrt{ 1 + \frac{3}{ \infty}-\frac{2}{ \infty}} + \sqrt{1-\frac{3}{ \infty}}} = \frac{3 + 0}{ \sqrt{ 1 + 0 - 0} + \sqrt{1- 0}} =\frac{3}{1+1} = \frac{3}{2}$$Ответ: \( \lim_{ x \to \infty} ( \sqrt{ x^2 + 3x-2} - \sqrt{x^2-3}) = \frac{3}{2}\)
