Найдем предел: $$ \lim_{x \to 1}(e^{2x} - e^2)ctg(1-x)$$
Решение:
1. Найдем предел функции в точке \(x = 1\) $$ \lim_{x \to 1}(e^{2x} - e^2)ctg(1-x) = (e^{2*1} - e^2)ctg(1-1) =0*ctg(0) = 0*\infty $$, получили неопределенность вида \( 0*\infty\). Преобразуем эту неопределенность к неопределенности вида \( \frac{0}{0}\).
2. Преобразования. $$ \lim_{x \to 1}(e^{2x} - e^2)ctg(1-x) = \lim_{x \to 1}(e^{2x} - e^2) \frac{1}{tg(1-x)} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\)
Для разрешения этой неопределенности применим правило Лопиталя.
3. Правило Лопиталя.
Запишем правило Лопиталя $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Применяем правило Лопиталя $$ \lim_{x \to 1} \frac{e^{2x} - e^2}{tg(1-x)} = $$ Применяем формулу производной сложной функции в числителе и знаменателе отдельно$$ = \lim_{x \to 1} \frac{(e^{2x} - e^2)'}{(tg(1-x))'} = \lim_{x \to 1} \frac{2e^{2x} }{ \frac{1}{ \cos(1-x)*(-1)}} = -\frac{2e^{2*1} }{ \frac{1}{ \cos(1-1)}} = -\frac{2e^2}{1} = -2e^2$$
4. Ответ: \( \lim_{x \to 1}(e^{2x} - e^2)ctg(1-x) = -2e^2 \)
