Найдем предел: $$ \lim_{x \to 2} \frac{ \sqrt[3]{4x}-2}{ \sqrt{2+x} - \sqrt{2x}} $$
Решение:
1. Найдем предел функции в точке \(x = 2\) $$ \lim_{x \to 2} \frac{ \sqrt[3]{4x}-2}{ \sqrt{2+x} - \sqrt{2x}} = \frac{ \sqrt[3]{4*2}-2}{ \sqrt{2+2} - \sqrt{2*2}} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \( \frac{0}{0} \).
Для разрешения этой неопределенности применим правило Лопиталя.
2. Правило Лопиталя.
Запишем правило Лопиталя $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Применяем правило Лопиталя, применяем формулу производной сложной функции в числителе и знаменателе отдельно$$ \lim_{x \to 2} \frac{ \sqrt[3]{4x}-2}{ \sqrt{2+x} - \sqrt{2x}} = \lim_{x \to 2} \frac{ (\sqrt[3]{4x}-2)'}{ (\sqrt{2+x} - \sqrt{2x})'} = $$$$ = \lim_{x \to 2} \frac{ \frac{4}{3}(4x)^{-\frac{2}{3}}}{ \frac{1}{2}(2+x)^{-\frac{1}{2}} - \frac{2}{2}(2x)^{-\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{4}{3} (\frac{1}{4*2})^{\frac{2}{3}}}{ \frac{1}{2}\frac{1}{ \sqrt{2+2}} - \frac{2}{2}\sqrt{\frac{1}{2*2}}}= $$$$ = \frac{ \frac{1}{3}}{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}} = -\frac{4}{3} $$
3. Ответ: \( \lim_{x \to 2} \frac{ \sqrt[3]{4x}-2}{ \sqrt{2+x} - \sqrt{2x}} = -\frac{4}{3} \)
