Исследуем ряд на сходимость \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1) \ln(n+1)} \)
Решение: функция \( f(x) = \frac{1}{(x+1) \ln(x+1)} \) при \( x > 1 \) является положительной и убывающей ( первая производная всегда меньше нуля ). Поэтому для исследования данного ряда на сходимость можно применять
интегральный признак Коши:
Если функция \( f(x) \geq 0\) при \( x > 0 \) и не возрастает, то ряд \( \sum_{n=1}^{ \infty} f(n)\) сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом \( \int_{1}^{ \infty} f(x)dx\)
Получаем: $$ \int_1^{ \infty} \frac{1}{(x+1) \ln(x+1)}dx = $$ введем замену \( t = \ln(x+1) => dt = \frac{1}{x+1}dx \),
пересчитаем границы: нижняя граница \( x = 1 => t = \ln(1+1) = \ln(2)\)
верхняя граница \( x = \infty => t = \ln( \infty+1) = \infty \) получаем $$ = \int_{ \ln(2)}^{ \infty} \frac{1}{t}dt = \ln(t)|_{\ln(2)}^{ \infty} = \infty - \ln(\ln(2)) = \infty$$
Вывод: несобственный интеграл расходится, значит и ряд расходится.
Ответ: ряд \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1) \ln(n+1)} \) - расходится.
