Исследовать функцию на монотонность $$y = \arccos\frac{1-x^2}{1+x^2}$$

Проведем исследование функции на монотонность, используем для этого "Схему исследования функции на монотонность"

1. Найдем область определения функции . Областью определения функции является \(D_{(f)} = [-1;1]\). Отсюда получим $$-1 \leq \frac{1-x^2}{1+x^2} \leq 1 =>-1 -x^2 \leq 1-x^2 \leq 1+x^2 =>$$$$\begin{cases}-1 -x^2 \leq 1-x^2 \\ 1-x^2 \leq 1+x^2  \end{cases}=>\begin{cases} 0  \leq 2 => x \in \mathbb R \\ 0 \leq 2x^2 => x \in \mathbb R \end{cases}=>$$Областью определения функции является \(x \in \mathbb R\), т.е. вся числовая ось.


2. Находим первую производную функции $$y' = (\arccos\frac{1-x^2}{1+x^2})'=-\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1-x^2}{1+x^2})^2}}*\frac{-2x*(1+x^2)-(1-x^2)*2x}{(1+x^2)^2}=$$$$=-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1-2x^2+x^4}{1+2x^2+x^4}}}*\frac{-2x-2x^3-2x+2x^3}{(1+x^2)^2}=$$$$=\frac{1}{ \sqrt{ \frac{4x^2}{(1+x^2)^2}}}*\frac{4x}{(1+x^2)^2}=$$$$= \frac{1+x^2}{2|x|}* \frac{4x}{(1+x^2)^2}= \frac{2x}{|x|(1+x^2)}=>$$$$\left [ \begin{gather}\begin{cases}x > 0 \\ x \ne 0\\y' = \frac{2}{1+x^2}\end{cases} \\\begin{cases}x < 0 \\ x \ne 0 \\y' = -\frac{2}{1+x^2}\end{cases} \end{gather}\right.$$Получили, что при всех \( x > 0, y'> 0\)т.е. функция возрастает, а при \(x < 0, y' < 0\), т.е. функция убывает.

Ответ: функция возрастает на интервале \((0; +\infty)\), функция убывает на интервале \((-\infty; 0)\)