Loading [MathJax]/extensions/TeX/AMSmath.js
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Исследовать функцию на монотонность y = \arccos\frac{1-x^2}{1+x^2}


0 Голосов
Артем Кудашев
Posted Февраль 17, 2013 by Артем Кудашев
Категория: Математический анализ
Всего просмотров: 2418

Исследовать функцию на монотонность y = \arccos\frac{1-x^2}{1+x^2}

Теги: математический анализ, исследовать функцию на монотонность, применение производной

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Февраль 17, 2013 by Вячеслав Моргун

Проведем исследование функции на монотонность, используем для этого "Схему исследования функции на монотонность"



  1. Найдем область определения функции . Областью определения функции является D_{(f)} = [-1;1]. Отсюда получим -1 \leq \frac{1-x^2}{1+x^2} \leq 1 =>-1 -x^2 \leq 1-x^2 \leq 1+x^2 =>\begin{cases}-1 -x^2 \leq 1-x^2 \\ 1-x^2 \leq 1+x^2  \end{cases}=>\begin{cases} 0  \leq 2 => x \in \mathbb R \\ 0 \leq 2x^2 => x \in \mathbb R \end{cases}=>Областью определения функции является x \in \mathbb R, т.е. вся числовая ось.

  2. Находим первую производную функции y' = (\arccos\frac{1-x^2}{1+x^2})'=-\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1-x^2}{1+x^2})^2}}*\frac{-2x*(1+x^2)-(1-x^2)*2x}{(1+x^2)^2}==-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1-2x^2+x^4}{1+2x^2+x^4}}}*\frac{-2x-2x^3-2x+2x^3}{(1+x^2)^2}==\frac{1}{ \sqrt{ \frac{4x^2}{(1+x^2)^2}}}*\frac{4x}{(1+x^2)^2}== \frac{1+x^2}{2|x|}* \frac{4x}{(1+x^2)^2}= \frac{2x}{|x|(1+x^2)}=>\left [ \begin{gather}\begin{cases}x > 0 \\ x \ne 0\\y' = \frac{2}{1+x^2}\end{cases} \\\begin{cases}x < 0 \\ x \ne 0 \\y' = -\frac{2}{1+x^2}\end{cases} \end{gather}\right.Получили, что при всех x > 0, y'> 0т.е. функция возрастает, а при x < 0, y' < 0, т.е. функция убывает.


Ответ: функция возрастает на интервале (0; +\infty), функция убывает на интервале (-\infty; 0)