Найдем интеграл: \(\int(2-x)\sin(3x)dx\)
Решение: $$ \int(2-x)\sin(3x)dx = \int 2\sin(3x)dx - \int x\sin(3x)dx \quad (1)$$Получили два интеграла:
1. Найдем интеграл \(\int 2\sin(3x)dx = 2\int \sin(3x)dx \) это табличный интеграл \( \int sin(ax)dx = -\frac{ \cos(ax)}{a}\), получаем $$\int 2 \sin(3x)dx = -\frac{2}{3}\cos(3x) + C$$
2. Найдем интеграл \( \int x \sin(3x)dx\). Применим формулу интегрирования по частям \( \int udv = u*v - \int vdu\). Обозначим \(u = x => du = dx\), а \(dv = \sin(3x)dx => v = \int \sin(3x)dx = -\frac{1}{3} \cos(3x)\). Подставляем в формулу интегрирования по частям $$\int x \sin(3x)dx = -\frac{1}{3}x \cos(3x) + \int \frac{1}{3} \cos(3x)dx = $$$$ =-\frac{1}{3}x \cos(3x) + \frac{1}{9} \sin(3x) + C$$
3. Подставляем решение в (1)
$$ = -\frac{2}{3}\cos(3x) + \frac{1}{3}x \cos(3x) - \frac{1}{9} \sin(3x) + C$$
Ответ: \( \int(2-x)\sin(3x)dx = -\frac{2}{3}\cos(3x) + \frac{1}{3}x \cos(3x) - \frac{1}{9} \sin(3x) + C\)
