Найдем интеграл: \( \int \frac{x-\sin{x}}{x^{2}+2\cos{x}}dx\)
Решение: находить интеграл будем методом замены. Из формулы видно, что числитель является производной знаменателя.
Введем замену \(u = x^2 + 2\cos{x} => du = 2x - 2\sin{x} = 2(x - \sin{x})\). Подставляем замену $$ \int \frac{x-\sin{x}}{x^{2}+2\cos{x}}dx = \int \frac{1}{2u}du = \frac{1}{2}\ln{u} + C = $$делаем обратную замену $$= \frac{1}{2}\ln{(x^2 + 2\cos{x})} + C$$
Ответ: \( \int \frac{x-\sin{x}}{x^{2}+2\cos{x}}dx = \frac{1}{2}\ln{(x^2 + 2\cos{x})} + C \)
