Найти интеграл: \( \int\frac{x-2}{\sqrt{1-x^{2}}}dx \)
Решение: проведем преобразования $$ \int\frac{x-2}{\sqrt{1-x^{2}}}dx = \int\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx - \int\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}dx \quad (1)$$
Найдем интеграл \( \int\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx\) Числитель дроби - производная знаменателя. Введем замену \(t^2 = 1 - x^2 => tdt = -2xdx => xdx = -\frac{t}{2}dt\). Подставляем \( - \int \frac{t}{\sqrt{t^2}}dt = - \int dt = -t\) Применяем обратную замену \( t^2= 1 - x^2 => t = \sqrt{1 - x^2}\), получаем $$ \int\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx = - \sqrt{1 - x^2}$$
Найдем интеграл \( \int\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}dx\) применим табличный интеграл \( \arcsin(x) = \frac{1}{ \sqrt{1 -x^2}}\), получаем $$ \int\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}dx = 2\arcsin(x) + C$$
Подставляем в (1) $$ = - \sqrt{1 - x^2} - 2\arcsin(x) + C$$
Ответ: \( \int\frac{x-2}{\sqrt{1-x^{2}}}dx = - \sqrt{1 - x^2} - 2\arcsin(x) + C \)
