Найдем интеграл \( \int\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+2}}dx \)
Решение: выражение под корнем знаменателя - производная числителя, поэтому введем замену: \( t = x^3+2 => dt = 3x^2dx => \frac{1}{3}dt = x^2dx\). $$ \int\frac{x^{2}dx}{\sqrt{x^{3}+2}} = $$подставляем замену $$ = \int \frac{dt}{3 \sqrt{t}} = \frac{1}{3} \int t^{-\frac{1}{2}}dt = $$ применяем табличную формулу интеграла степенной функции \( int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1}\), получаем $$ = \frac{1}{3} \frac{1}{-\frac{1}{2}+1} t^{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{2}{3} t^{\frac{1}{2}} + C = $$применяем обратную замену $$ = \frac{2}{3} (x^3+2)^{\frac{1}{2}} + C$$
Ответ: \( \int\frac{x^{2}dx}{\sqrt{x^{3}+2}} = \frac{2}{3} \sqrt{x^3+2} + C\)
