Найти интеграл $$\int\frac{x+5}{x^{2}+10x+1}dx$$

Найдем интеграл: \( \int\frac{x+5}{x^2+10x+1}dx \)
Решение: числитель \(x+5\) - производная от знаменателя \( x^2+10x+1 \) , поэтому введем замену \( t = x^2+10x+1 => dt  = (2x +10)dx => \frac{dt}{2} = (x+5)dx\), подставляем замену $$ \int \frac{1}{2t}dt =$$ применяем табличную формулу \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C\), получаем $$ = \frac{1}{2}\ln(t) +C = $$ применяем обратную замену $$ = \frac{1}{2} \ln( x^2+10x+1) +C$$
Ответ: \( \int\frac{x+5}{x^2+10x+1}dx = \frac{1}{2} \ln( x^2+10x+1) +C\)