Найдем интеграл: \( \int \frac{1+\ln^2x}{x} dx \)
Решение: дробь \(\frac{1}{x}\) - производная от \( \ln{x} \) , поэтому введем замену \( t = \ln{x} => dt = \frac{1}{x}dx \), подставляем замену $$ \int (1+t^2)dt = \int dt + \int t^2dt =$$ применяем табличную формулу интеграла степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1} x^{a+1}\), получаем $$ = t+ \frac{1}{3}t^3 +C = $$ применяем обратную замену $$ = \ln{x} + \frac{1}{3}( \ln{x} )^3 +C$$
Ответ: \( \int \frac{1+\ln^2x}{x} dx = \ln{x} + \frac{1}{3} \ln^3{x} +C\)
