Найдем интеграл: \( \int\frac{x^4dx}{\sqrt[3]{x^5+2}} \) Решение: числитель \( x^4\) - производная от \( x^5 \) , поэтому введем замену \( t = x^5 +2 => dt = 5x^4dx => \frac{dt}{5} = x^4dx\) $$ \int\frac{x^4dx}{\sqrt[3]{x^5+2}}=$$ подставляем замену $$ = \int\frac{dt}{5\sqrt[3]{t}} = \int \frac{1}{5}t^{ -\frac{1}{3}}dt$$ применяем табличную формулу интеграла степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\), получаем $$ = \frac{1}{5} \frac{1}{-\frac{1}{3}+1} t^{-\frac{1}{3}+1} +C = \frac{3}{10} t^{\frac{2}{3}} +C $$ применяем обратную замену $$ = \frac{3}{10} (x^5 +2)^{\frac{2}{3}} +C$$ Ответ: \( \int\frac{x^4dx}{\sqrt[3]{x^5+2}} = \frac{3}{10} \sqrt[3]{(x^5 +2)^2} +C\)
