Найдем интеграл: \( \int \frac{1}{ \cos^2x\sqrt{4+tgx}}dx \)
Решение: числитель \( \cos^2x\) - производная от \( tgx \) , поэтому введем замену \( t = tgx + 4=> dt = \frac{1}{ \cos^2x}dx\) $$\int \frac{1}{ \cos^2x\sqrt{4+tgx}}dx =$$ подставляем замену $$ = \int \frac{1}{ \sqrt{t}}dt = \int t^{- \frac{1}{2}} dx = $$ применяем табличную формулу \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\), получаем $$ = \frac{1}{-\frac{1}{2}+1} t^{-\frac{1}{2}+1} +C = 2 t^{\frac{1}{2}} +C$$ применяем обратную замену $$ = 2 \sqrt{tgx + 4} +C$$
Ответ: \( \int \frac{1}{ \cos^2x\sqrt{4+tgx}}dx = 2 \sqrt{tgx + 4} +C\)
