Найдем интеграл: \( \int \frac{(1+x)^2}{ \sqrt{x}} dx \)
Решение: проведем преобразования $$ \int \frac{(1+x)^2}{ \sqrt{x}} dx = \int \frac{x^2+2x+1}{ \sqrt{x}} dx = $$$$ = \int x^{\frac{3}{2}}dx + 2 \int x^{\frac{1}{2}}dx +\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = $$ применяем табличную формулу интеграла степенной функции\( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\), получаем $$ = \frac{1}{ \frac{3}{2}+1} x^{\frac{3}{2}+1} + 2 \frac{1}{ \frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1} + \frac{1}{ - \frac{1}{2}+1} x^{ -\frac{1}{2}+1} +C = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x} +C$$
Ответ: \( \int \frac{(1+x)^2}{ \sqrt{x}} dx = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x} +C\)
