Найдем производную функции \(\frac{1}{2x^2}\arcsin(\sin x+2x)\)
Решение: применим формулу производной произведения \((f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\), получим $$y' = (\frac{1}{2x^2}\arcsin(\sin x+2x))' = (\frac{1}{2x^2})'\arcsin(\sin x+2x) + \frac{1}{2x^2}(\arcsin(\sin x+2x))' = \quad (1)$$применим формулу производной степенной функции \( (x^a)' = ax^{a-1}\), получим \((\frac{1}{2x^2})' = \frac{1}{2}x^{-2} = \frac{1}{2}(-2)*x^{-2-1} = -\frac{1}{x^3}\),
применим формулу производной арксинуса \( (\arcsin(x))' = \frac{1}{ \sqrt{1-x^2}}\) и
формулу производной сложной функции \( (f(g(x))) = f'(g(x))*g'(x)\), получим \( (\arcsin( \sin x+2x))' = \frac{1}{ \sqrt{1 -( \sin x+2x)^2}}( \cos{x} + 2)\). Подставляем полученные результаты в формулу (1) $$ = -\frac{1}{x^3}\arcsin(\sin x+2x) + \frac{1}{2x^2}\frac{1}{ \sqrt{1 -( \sin x+2x)^2}}( \cos{x} + 2) $$
Ответ: \((\frac{1}{2x^2}\arcsin(\sin x+2x))' = \frac{1}{2x^2}\frac{ \cos{x} + 2}{ \sqrt{1 -( \sin x+2x)^2}} - \frac{1}{x^3}\arcsin(\sin x+2x) \)
