Найдем производную функции \( y=3\sqrt[3]{\frac{x+1}{(x-1)^2}} \)
Решение: $$y'=(3\sqrt[3]{\frac{x+1}{(x-1)^2}})' = 3([\frac{x+1}{(x-1)^2}]^{\frac{1}{3}})' = $$ применим формулу производной степенной функции \((x^a)' = ax^{a-1}\) и производной сложной функции \((f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)\), получим $$ = 3* \frac{1}{3}*[ \frac{x+1}{(x-1)^2}]^{ \frac{1}{3}-1}*( \frac{x+1}{(x-1)^2})'=$$применим формулу производной дроби \( (\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}\), получим $$ = [ \frac{x+1}{(x-1)^2}]^{- \frac{2}{3}}*\frac{(x-1)^2 - (x+1)*2(x-1)}{(x-1)^4}=$$проведем некоторые алгебраические преобразования (упростим, сократим и т.д.)$$ = [ \frac{(x-1)^2}{x+1}]^{ \frac{2}{3}}*\frac{(x-1) - (x+1)*2}{(x-1)^3} = $$$$ = [ \frac{(x-1)^2}{x+1}]^{ \frac{2}{3}}*\frac{x-1 - 2x- 2}{(x-1)^3} $$$$ = \frac{-x-3}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-1)^5}} $$Ответ: производная функции \( y'=(3\sqrt[3]{\frac{x+1}{(x-1)^2}})' = \frac{-x-3}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-1)^5}} \)
