52 карты раздаются 4-м игрокам, каждому по 13 карт. Сколькими способами их можно раздать, если
1. Каждый игрок получит туза;
2. Один из игроков получит все 13 карт единой масти ;
3. Все тузы попадут к одному из игроков;
4. 2 определенных игрока не получат ни одного туза
1. Каждый игрок получит туза;
Способ 1.
Согласно условия задачи, каждый игрок получает по тузу, т.е. может получить один туз из 4-х разных мастей. Возможно 4 комбинации \(n_0=4\)
Осталось 48 карт, которые и мы должны раздать по 12 карт каждому игроку
1-й игрок получает еще 12 карт (одну уже получил это туз), учтем, что уже 4 туза выбрано, т.е. в колоде осталось 52-4 = 48 карт. Количество комбинаций ищем по формуле сочетаний (порядок следования карт не учитываем) \(n_1 = C_{48}^{12} = \frac{48!}{12!36!} \)
2-й игрок получает еще 12 карт, учтем, что уже 4 туза +12 карт выбрано, т.е. осталось в колоде 52-4-12=36 карт. Количество комбинаций ищем по формуле сочетаний \(n_2 = C_{36}^{12} = \frac{36!}{12!24!} \)
3-й игрок получает еще 12 карт (а четвертому все что осталось), учтем, что уже 4 туза +12 +12 карт выбрано, т.е. осталось в колоде 52-4-12 -12=24 карт. Количество комбинаций ищем по формуле сочетаний \(n_3 = C_{24}^{12} = \frac{24!}{12!12!} \)
4-й игрок, как я указывал в п.3, забирает автоматически все что осталось, т.е. количество комбинаций равно \(n_4=1\)
Для ответа на вопрос "сколькими способами можно раздать 52 карты 4-м игрокам по 13, при этом каждый игрок получит по тузу" применим правило произведения
Правило произведения. Если объект A можно выбрать из множества объектов m способами и после каждого такого выбора объект B можно выбрать \(n\) способами, то пара объектов (A,B) в указанном порядке может быть выбрана \( m*n\) способами.
Получаем \(n\) способов $$n = n_0*n_1*n_2*n_3*n_4 => $$$$n = 4* \frac{48!}{12!36!}*\frac{36!}{12!24!}*\frac{24!}{12!12!}*1 = $$$$ = 4* \frac{48!}{12!12!12!12!} \approx 9.43 × 10^{26} $$
Способ 2.
Можно было сразу применить формулу перестановок c повторениями, которую мы фактически вывели и правило произведения.
Число перестановок c повторениями (k различных элементов, где элементы могут повторяться \(m_1, m_2, …, m_k\) раз и \(m_1 + m_2 +… + m_k = n\), где n - общее количество элементов) вычисляется по формуле: $$P(m_1,m_2...m_k) = \frac{n!}{m_1!m_2!*...*m_k!}$$ т.е. получили \(n_0 = 4\), а остальные комбинации получаем по формуле перестановок с повторениями, где колода 48 карт делится на части 12+12+12+12 (по 12 карт каждому игроку) $$n_1 = \frac{48!}{12!12!12!12!}$$ а по правилу произведения получаем $$n = n_0*n_1 = 4*\frac{48!}{12!12!12!12!} \approx 9.43 × 10^{26}$$
2. Один из игроков получит все 13 карт единой масти.
Способ 1.
Применяем рассуждения первого пункта:
1-й игрок получил 13 карт одной масти. Количество комбинаций, получить все карты одной масти, но мастей всего 4 равно \(n_1 = 4\)
2-й игрок получает 13 карт, учтем, что уже 13 карт выбрано, т.е. осталось в колоде 52-13=39 карт. Количество комбинаций ищем по формуле сочетаний \(n_2 = C_{39}^{13} = \frac{39!}{13!26!} \)
3-й игрок получает 13 карт, учтем, что уже два игрока получили свои карты 13 +13, т.е. осталось в колоде 52-13 -13=26 карт. Количество комбинаций ищем по формуле сочетаний \(n_3 = C_{26}^{13} = \frac{26!}{13!13!} \)
4-й игрок игрок забирает автоматически все что осталось - 13 карт, т.е. количество комбинаций равно \(n_4=1\)
Для ответа на вопрос "сколькими способами можно раздать 52 карты 4-м игрокам по 13, при этом один из игроков получит 13 карт одной масти" применим правило произведения, получаем \(n\) способов $$n = n_1*n_2*n_3*n_4 => $$$$n = 4*\frac{39!}{13!26!}*\frac{26!}{13!13!}*1 = $$$$ = 4*\frac{39!}{13!13!13!} = 3.38 × 10^{17} $$
Способ 2.
Можно было сразу применить формулу перестановок c повторениями и правило произведения.
т.е. получили \(n_1 = 4\), а остальные комбинации получаем по формуле перестановок с повторениями, где колода 39 карт делится на части 13+13+13$$n_2 = \frac{39!}{13!13!13!}$$ а по правилу произведения получаем $$n = n_1*n_2 = 4*\frac{39!}{13!13!13!} \approx 3.38 × 10^{17}$$
3. Все тузы попадут к одному из игроков.
Способ 1.
Применяем рассуждения предыдущих пунктов:
1-й игрок получил 13 карт из которых 4 - тузы + 9 любых карт. Количество комбинаций, чтобы получить 4 туза равно \(n_{11}=1\). Осталось 48 карт и нужно выбрать из них еще 7. Количество комбинаций ищем по формуле сочетаний \(n_{12} = C_{48}^{9} = \frac{48!}{9!39!} \) , тогда общее количество комбинаций 4 туза + 9 карт будем искать по формуле произведения и получим \(n_1= n_{11}*n_{12} = 1*\frac{48!}{9!39!}\)
2-й игрок получает 13 карт, учтем, что уже 13 карт выбрано, т.е. осталось в колоде 52-13=39 карт. Количество комбинаций ищем по формуле сочетаний \(n_2 = C_{39}^{13} = \frac{39!}{13!26!} \)
3-й игрок получает 13 карт, учтем, что уже два игрока получили свои карты 13 +13, т.е. осталось в колоде 52-13 -13=26 карт. Количество комбинаций ищем по формуле сочетаний \(n_3 = C_{26}^{13} = \frac{26!}{13!13!} \)
4-й игрок игрок забирает автоматически все что осталось - 13 карт, т.е. количество комбинаций равно \(n_4=1\)
Для ответа на вопрос "сколькими способами можно раздать 52 карты 4-м игрокам по 13, при этом все тузы попадут одному игроку" применим правило произведения, получаем \(n\) способами $$n = n_1*n_2*n_3*n_4 => $$$$n = 1*\frac{48!}{9!39!}*\frac{39!}{13!26!}* \frac{26!}{13!13!} *1 = $$$$ = 1*\frac{48!}{9!13!13!13!} \approx 1.42 × 10^{26} $$
Способ 2.
Можно было сразу применить формулу перестановок c повторениями и правило произведения.
т.е. получили \(n_{11} = 1\), а остальные комбинации получаем по формуле перестановок с повторениями, где колода 48 карт делится на части 9+13+13+13 $$n_2 = \frac{48!}{9!13!13!13!}$$ а по правилу произведения получаем $$n = n_{11}*n_2 = 1*\frac{48!}{9!13!13!13!} \approx 1.42 × 10^{26}$$
4. 2 определенных игрока не получат ни одного туза
Способ 1.
Применяем рассуждения предыдущих пунктов:
Известно, что два определенных игрока получат 2 туза. Количество комбинаций раздать 4 туза по 2 равна \(n_0 = C_4^2 = \frac{4!}{2!2!}\)
1-й игрок уже получил 2 туза, ему осталось получить 11 карт, а в колоде осталось 52-4=48 карт. Количество комбинаций, чтобы получить 11 карт \(n_{1}= C_{48}^{11} = \frac{48!}{11!37!}\).
2-й игрок тоже получил 2 туза из 13 карт, т.е нужно выбрать еще 11 карт, учтем, что уже 13 + 2 карты выбрано, т.е. осталось в колоде 52-13-2=37 карт. Количество комбинаций ищем по формуле сочетаний \(n_2 = C_{37}^{11} = \frac{37!}{11!26!} \)
3-й игрок получает 13 карт, учтем, что уже два игрока получили свои карты 13 +13, т.е. осталось в колоде 52-13 -13=26 карт. Количество комбинаций ищем по формуле сочетаний \(n_3 = C_{26}^{13} = \frac{26!}{13!13!} \)
4-й игрок игрок забирает автоматически все что осталось - 13 карт, т.е. количество комбинаций равно \(n_4=1\)
Для ответа на вопрос "сколькими способами можно раздать 52 карты 4-м игрокам по 13, при этом все 2 определенных игрока не получают ни одного туза" применим правило произведения, получаем \(n\) способами $$n = n_0*n_1*n_2*n_3*n_4 => $$$$n = \frac{4!}{2!2!}*\frac{48!}{11!37!}* \frac{37!}{11!26!}* \frac{26!}{13!13!} *1 = $$$$ = \frac{4!}{2!2!}*\frac{48!}{11!11!13!13!} \approx 1.21 × 10^{27} $$
Способ 2.
Можно было сразу применить формулу перестановок c повторениями и правило произведения.
т.е. получили \(n_0 = \frac{4!}{2!2!}\), а остальные комбинации получаем по формуле перестановок с повторениями, где колода 48 карт делится на части 11+11+13+13 $$n_1 = \frac{48!}{11!11!13!13!}$$ а по правилу произведения получаем $$n = n_0*n_1 = \frac{4!}{2!2!}* \frac{48!}{11!11!13!13!} \approx 1.21 × 10^{27}$$
