Дан закон прямолинейного движения точки $S=-\frac{1}{3}t^3+3t^2+5t+3$. Найдите максимальную скоро

Для решения задачи необходимо вспомнить физический смысл первой и второй производной.

Физический смыcл производной

Пусть $s=s(t)$ — закон прямолинейного движения. Тогда

1. Первая производная $v(t_0)=s'(t_0)$ выражает мгновенную скорость движения в момент времени $t_0$.


2. Вторая производная $a(t_0) = s''(t_0)$ выражает мгновенное ускорение в момент времени $t_0$.

Приступаем к решению. Находим первую производную

$$(S(t))'=v(t)=y'=(-\frac{1}{3}t^3+3t^2+5t+3)=-t^2+6t+5$$ Получили уравнение зависимости скорости от времени. Находим экстремум, точку максимума. Первая производная - перебола, оси которой направлены вниз (знак перед второй степенью отрицательный) вершина параболы - наибольшая скорость $$(v(t))'=(-t^2+6t+5)'=0=> -2t+6=0 => t=3$$ получили, что на 3 сек была наибольшая скорость, подставим в выражение скорости $$v(3)=-t^2+6t+5=-9+18+5=14$$ максимальная скорость равна 14 м/с. Ищем ускорение. Метод такой же. Ускорение - вторая производная от пройденного пути или первая производная от скорости. Оно равно $$(s(t))''=(v(t))'=a(t)=-2t+6$$ это формула зависимости ускорения от времени,т.е. ускорение линейно зависит от времени, как мы получили раннее при максимальной скорости на 3 сек. ускорение равно 0.