Вычислите частные производные функции \(z=( \ln(x+y))^{ \frac{tgx}{y}}+arctg(x\sqrt{y-x})\)

Вычислим частную производную функции \( z=( \ln(x+y))^{ \frac{tgx}{y}}+arctg(x\sqrt{y-x}) \)
1. Частная производная \( \frac{\partial z}{\partial x} \).
Функция \(z=( \ln(x+y))^{ \frac{tgx}{y}}+arctg(x\sqrt{y-x}) \) - сложная функция двух переменных.
При нахождении частной производной \( \frac{ \partial z}{\partial x}\) переменная \(y\) считается постоянной величиной $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(( \ln(x+y))^{ \frac{tgx}{y}}+arctg(x\sqrt{y-x})) = \frac{\partial}{\partial x}(\ln(x+y))^{ \frac{tgx}{y}})  +  \frac{\partial}{\partial x}(arctg(x\sqrt{y-x})) = $$Найдем производные каждого слагаемого$$ =  \frac{\partial}{\partial x}(\ln(x+y))^{ \frac{tgx}{y}}) =  \frac{\partial}{\partial x}(e^{\ln(\ln(x+y))^{ \frac{tgx}{y}}}) =$$$$ =  \frac{\partial}{\partial x}(e^{\frac{tgx}{y}\ln(\ln(x+y))}) =  e^{\frac{tgx}{y}\ln(\ln(x+y))}*\frac{\partial}{\partial x}(\frac{tgx}{y}\ln(\ln(x+y)))= $$$$= e^{\frac{tgx}{y}\ln(\ln(x+y))}*(\frac{1}{y\cos^2x}\ln(\ln(x+y))+\frac{tgx}{y}\frac{1}{\ln(x+y)}*\frac{1}{x+y})=$$$$=(\ln(x+y))^{\frac{tgx}{y}}*(\frac{1}{y\cos^2x}\ln(\ln(x+y))+\frac{tgx}{y}\frac{1}{\ln(x+y)}*\frac{1}{x+y})$$ и второе слагаемое $$ \frac{\partial}{\partial x}(arctg(x\sqrt{y-x})) = \frac{1}{1+ (x\sqrt{y-x})^2}*(\sqrt{y-x} - x*\frac{1}{ 2\sqrt{y-x}}) = $$$$ =\frac{2y-3x}{2(1+ x^2y-x^3)\sqrt{y-x}}$$Подставляем полученные решения в формулу производной $$\frac{\partial}{\partial x}(( \ln(x+y))^{ \frac{tgx}{y}}+arctg(x\sqrt{y-x}))  = $$$$=(\ln(x+y))^{\frac{tgx}{y}}*(\frac{1}{y\cos^2x}\ln(\ln(x+y))+\frac{tgx}{y}\frac{1}{\ln(x+y)}*\frac{1}{x+y}) + \frac{2y-3x}{2(1+ x^2y-x^3)\sqrt{y-x}}$$
2. Частная производная \( \frac{\partial z}{\partial y} \).
Функция \(z=( \ln(x+y))^{ \frac{tgx}{y}}+arctg(x\sqrt{y-x}) \) - сложная функция двух переменных.
При нахождении частной производной \( \frac{ \partial z}{\partial y}\) переменная \(x\) считается постоянной величиной $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(( \ln(x+y))^{ \frac{tgx}{y}}+arctg(x\sqrt{y-x})) = \frac{\partial}{\partial y}(\ln(x+y))^{ \frac{tgx}{y}})  +  \frac{\partial}{\partial y}(arctg(x\sqrt{y-x})) =$$Найдем производные каждого слагаемого$$ =  \frac{\partial}{\partial y}(\ln(x+y))^{ \frac{tgx}{y}}) = \frac{\partial}{\partial y}(e^{\ln(\ln(x+y))^{ \frac{tgx}{y}}})=e^{\ln(\ln(x+y))^{ \frac{tgx}{y}}}*\frac{\partial}{\partial y}(\ln(\ln(x+y))^{ \frac{tgx}{y}})=$$$$ =(\ln(x+y))^{ \frac{tgx}{y}}\frac{\partial}{\partial y}(\frac{tgx}{y}\ln(\ln(x+y)))=$$$$
=(\ln(x+y))^{ \frac{tgx}{y}}(-\frac{tgx}{y^2}\ln(\ln(x+y))+\frac{tgx}{y}\frac{1}{\ln(x+y)}\frac{1}{x+y}) =$$$$ =(\ln(x+y))^{ \frac{tgx}{y}}( \frac{tgx}{y} \frac{1}{(x+y)\ln(x+y)}- \frac{tgx}{y^2}\ln(\ln(x+y))) $$и второе слагаемое $$ \frac{\partial}{\partial y}(arctg(x\sqrt{y-x})) = \frac{1}{1+ (x\sqrt{y-x})^2} \frac{x}{ 2\sqrt{y-x}} $$Подставляем полученные решения в формулу производной $$\frac{\partial}{\partial x}(( \ln(x+y))^{ \frac{tgx}{y}}+arctg(x\sqrt{y-x}))  = $$$$=(\ln(x+y))^{ \frac{tgx}{y}}( \frac{tgx}{y} \frac{1}{(x+y)\ln(x+y)}- \frac{tgx}{y^2}\ln(\ln(x+y)))+ \frac{1}{1+ (x\sqrt{y-x})^2} \frac{x}{ 2\sqrt{y-x}}$$