Вычислим определенный интеграл \(\int_2^{\pi}( \frac{1}{ \sqrt{x}} + \sin(x)) dx\)
1. Воспользуемся свойством определенного интеграла : интеграл от алгебраической суммы интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов \( \int_a^b(f(x) \pm g(x))dx = \int_a^bf(x)dx \pm \int_a^bg(x)dx \) получим $$ \int_2^{\pi}( \frac{1}{ \sqrt{x}} + \sin(x)) dx = \int_2^{\pi} \frac{1}{ \sqrt{x}}dx + \int_2^{\pi} \sin(x) dx \quad (1)$$ Получили два табличных интеграла
2. Находим интегралы, используя формулы табличных интегралов:
находим \( \int_2^{\pi} \frac{1}{ \sqrt{x}}dx\) применяем формулу интеграла от степенной функции \( \int x^m = \frac{x^{m+1}}{m+1}\), получаем $$ \int_2^{\pi} \frac{1}{ \sqrt{x}}dx = \int_2^{\pi} x^{ -\frac{1}{2}}dx = \frac{x^{ -\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}|_2^{\pi} = 2x^{ \frac{1}{2}}|_2^{\pi} = 2\pi^{ \frac{1}{2}} -2*2^{ \frac{1}{2}} $$
находим \( \int_2^{\pi} \sin(x) dx\) применяем формулу интеграла от функции синуса \( \int \sin(x) dx = -\cos(x)\), получаем $$ \int_2^{\pi} \sin(x)dx = -\cos(x)|_2^{\pi} = -cos( \pi) + \cos(2) = 1 + \cos(2)$$
3. Подставляем в формулу (1)
$$ \int_2^{\pi}( \frac{1}{ \sqrt{x}} + \sin(x)) dx = \int_2^{\pi} \frac{1}{ \sqrt{x}}dx + \int_2^{\pi} \sin(x) dx = 2\pi^{ \frac{1}{2}} -2*2^{ \frac{1}{2}} +1 + \cos(2) $$
4. Ответ: \(\int_2^{\pi}( \frac{1}{ \sqrt{x}} + \sin(x)) dx = 1 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{\pi} + \cos(2)\)
