Найдем предел функции $$ \lim_{x \to \pi} \frac{tg(3^\frac{\pi}{x}-3)}{3^{\cos\frac{3x}{2}}-1} $$
1. Найдем предел функции в точке \(x = \pi\) $$ \lim_{x \to \pi}\frac{\tan(3^\frac{\pi}{x}-3)}{3^{\cos\frac{3x}{2}}-1}= \frac{ tg(3^\frac{\pi}{\pi}-3)}{3^{\cos\frac{3\pi}{2}}-1} =$$$$ = \frac{\tan(0)}{3^0-1} = \frac{0}{0}$$получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\). Эту неопределенность можно разрешить применяя правило Лопиталя:
2 Применяем правило Лопиталя,
Запишем правило Лопиталя $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$ Применяем правило Лопиталя $$ \lim_{x \to \pi} \frac{ tg(3^\frac{\pi}{x}-3)}{3^{\cos\frac{3x}{2}}-1} = \lim_{x \to \pi} \frac{ ( tg(3^\frac{\pi}{x}-3))'}{(3^{\cos\frac{3x}{2}}-1)'} = $$ Применяем формулу производной сложной функции$$ = \lim_{x \to \pi} \frac{ \frac{1}{\cos^2(3^\frac{\pi}{x}-3)}*(3^\frac{\pi}{x}-3)'}{3^{\cos\frac{3x}{2}}* \ln3 * (\cos\frac{3x}{2})'} = \lim_{x \to \pi} \frac{ \frac{1}{\cos^2(3^\frac{\pi}{x}-3)}*3^\frac{\pi}{x}*\ln3*(-\frac{\pi}{x^2})}{3^{\cos\frac{3x}{2}}* \ln3 * (-\sin\frac{3x}{2})*\frac{3}{2}} =$$$$ = \lim_{x \to \pi} \frac{2*3^\frac{\pi}{x}\pi}{3x^2\cos^2(3^\frac{\pi}{x}-3)*3^{\cos\frac{3x}{2}}* \sin\frac{3x}{2}} = $$$$ =\frac{2*3^\frac{\pi}{\pi}\pi}{3(\pi)^2\cos^2(3^\frac{ \pi}{ \pi}-3)*3^{\cos\frac{3\pi}{2}}*\sin\frac{3\pi}{2}} = \frac{6\pi}{3(\pi)^2*(-1)}=-\frac{2}{\pi} $$
Ответ: $$ \lim_{x \to \pi} \frac{tg(3^\frac{\pi}{x}-3)}{3^{\cos\frac{3x}{2}}-1} =-\frac{2}{\pi} $$
