Исследуем функцию \( y = e^{3x-7}(x^{2}+x-1) \) на монотонность и экстремумы.
Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки функции, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( e^{3x-7}(x^{2}+x-1))' = $$ производную будем искать по формуле производной произведения \( (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\) $$ = (e^{3x-7})'*(x^{2}+x-1) + e^{3x-7}*(x^{2}+x-1)' = \quad (1)$$ Воспользуемся производной сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)\). Применяем формулу \( (e^{3x-7})' = e^{3x-7}(3x-7)' = 3e^{3x-7} \) подставляем в (1) $$= 3e^{3x-7}(x^{2}+x-1) + e^{3x-7}*(x^{2}+x-1)' = 3e^{3x-7}(x^{2}+x-1) + e^{3x-7}*(2x+1) = $$$$ = e^{3x-7}(3(x^{2}+x-1) + 2x+1) = e^{3x-7}(3x^{2}+3x-3+ 2x+1) = e^{3x-7}(3x^{2}+5x-2)$$ приравняем к 0 $$ e^{3x-7}(3x^{2}+5x-2) = 0 => 3x^{2}+5x-2 = 0 => $$Находим корни квадратного двучлена $$ 3x^{2}+5x-2 =0 => x_{1,2} = \frac{ -5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2*3} = \frac{ -5 \pm 7}{6} => x_1= -2;x_2= \frac{1}{3}$$ Функция имеет две критические (стационарные) точки, т.е. одну две точки возможного экстремума функции.
Интервалы монотонности.
Функция имеет две критические точку на ОДЗ, критические точки ось Ox на три интервала монотонности.
интервал \((-\infty; - 2)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-3) = 3e^{3(-3)-7}(-3-2)(-3+ \frac{1}{3}) > 0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \((- 2; \frac{1}{3}) \) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(0) = 3e^{3*0-7}(0-2)(0+ \frac{1}{3}) < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((\frac{1}{3} ; +\infty )\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(3) = 3e^{3*3-7}(3-2)(3+ \frac{1}{3}) > 0\), на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критической точки получили,
для \(x = -2 \): \( \quad + \quad 0 \quad - \quad\), т.е. это точка максимума.
для \(x = \frac{1}{3}\): \( \quad - \quad 0 \quad + \quad\), т.е. это точка минимума.
