Ищем наименьшее и наибольшее значения функции \( y=x*e^x \) на отрезке [-2;0].
Наибольшим, наименьшим значением функции на отрезке могут быть точки минимума, максимума или значения функции на концах отрезка.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:
1. Находим стационарные точки:
Для нахождения стационарных точек найдем первую производную и приравняем ее у нулю $$y' = (x*e^x)' = e^x + xe^x = e^x(1 + x)$$ приравняем производную к нулю $$ e^x(1 + x) = 0 => x= -1$$
2 Выбираем из полученных стационарных точек те, которые принадлежат заданному отрезку.
В заданный отрезок попадает только точка \( x=-1\) . Получили точку вероятного экстремума (минимума, максимума).
3. Находим значения функции в выбранной стационарной точке (см п.2).
Найдем значение функции в этой точке $$f(-1)= (-1)*e^{-1} = -\frac{1}{e} \approx -0.37$$
4. Находим значения функции на концах заданного отрезка:
$$f(-2)= (-2)*e^{-2} = -\frac{2}{e^2} \approx -0.27$$
$$f(0)= 0*e^0 = 0$$
5. Из полученных значений функции (п.3 и п.4) выбираем наибольшее и наименьшее значения.
Сравниваем результаты, полученные в п.3 и п.4
Наибольшее значение функции на отрезке - значение функции в правой границе отрезка \(f(0) = 0\)
Наименьшее значение функции на отрезке - значение функции в стационарной точке \(f(-1) -\frac{1}{e} \approx -0.37\), которая оказалась точкой минимума, проверяем это, определяем знак первой производной слева и справа от стационарной точки.
\(f'(-1,5) = e^{-1,5}(1 -1,5) < 0 \),
\(f'(-0.5) = e^{-0,5}(1 -0,5) > 0 \),
получили, что производная изменила знак с \( - \quad 0 \quad + \), т.е. это действительно точка минимума.
Т.о. в данном типе задач необязательно выяснять, является ли стационарная точка точкой экстремума, достаточно найти значение функции в этой точке и сравнить со значениями функции на концах отрезка.
Проверяем полученный результат, строим график функции:
