Loading Web-Font TeX/Main/Regular
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Решить уравнение 2\sin^2x-5\sin x\cos x-\cos^2x=-2


0 Голосов
Антон Бойко
Posted Февраль 7, 2013 by Антон Бойко
Категория: Школьная математика 9-11
Всего просмотров: 4901

Решить уравнение 2\sin^2x-5\sin x\cos x-\cos^2x=-2

Теги: математика, тригонометрия, решить уравнение, решить тригонометрическое уравнение

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Февраль 7, 2013 by Вячеслав Моргун

Решим уравнение 2\sin^2x-5\sin x\cos x-\cos^2x=-2. В уравнении видно, что степень \cos и \sin, а также их суммарная степень в члене 5\sin x\cos равны. Данный вид уравнений решается методом перехода к тригонометрическим функциям \mathrm{tg} или \mathrm{ctg}, свободный член -2 преобразуем, воспользовавшись  основными тригонометрическими тождествами  \sin^2 \alpha +\cos^2 \alpha = 1. 2\sin^2x-5\sin x\cos x-\cos^2x=-2 =>2\sin^2x-5\sin x\cos x-\cos^2x +2 =0

2\sin^2x-5\sin x\cos x-\cos^2x +2\sin^2x+2\cos^2x =0 =>4\sin^2x-5\sin x\cos x+\cos^2x =0
\cos^2x (4\mathrm{tg^2x}-5\mathrm{x}+1) =0 =>
Получили произведение \cos x и квадратного уравнения относительно \mathrm{tgx}, условие равенства произведения 0 запишем в виде системы уравнений \begin{cases}cos^2x = 0\\4\mathrm{tg^2x}-5\mathrm{x}+1 =0 \end{cases} =>\begin{cases}cos x = 0\\ \mathrm{tg x}_{1,2} =\frac{5 \pm \sqrt{25-4*4}}{2*4}=\frac{5 \pm 3}{8}\end{cases} =>
\begin{cases} x = \frac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb Z\\ \mathrm{tg_{1} x}=1 \\ \mathrm{tg_{2} x}=\frac{1}{4}\end{cases} =>\begin{cases} x = \frac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb Z\\ x=\frac{\pi}{4}+\pi n, n \in \mathbb Z \\  x=\mathrm{arctg}{\frac{1}{4}}+\pi n, n \in \mathbb Z\end{cases} =>