Исследуем функцию \( y= \frac{x+1}{(x-1)^2}\) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю, т.е. \(x \ne 1\). ОДЗ $$D_f=(-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет две точки разрыва x = 1
исследуем точку x= 1. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to 1+0} \frac{x+1}{(x-1)^2} = +\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to 1-0} \frac{x+1}{(x-1)^2} = +\infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \infty\). Прямая \(x = 1\) является вертикальной асимптотой.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{-x+1}{(-x-1)^2} \) функция не является ни четной ни нечетной.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( \frac{x+1}{(x-1)^2}= 0 =>x+1 = 0 => x=-1 \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox в точке с координатами (-1;0).
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox это x =-1 и одну точку разрыва x = 1, т.е. три интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty;-1)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-2) = \frac{-2+1}{(-2-1)^2} < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((-1;1)\) найдем значение функции в любой точке \(f(0) = \frac{0+1}{(0-1)^2} > 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox.
интервал \((1;\infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(2) = \frac{2+1}{(2-1)^2} > 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox.
5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(f(0) = \frac{0+1}{(0-1)^2} =1 \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке с координатами (0;1).
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( \frac{x+1}{(x-1)^2})'= \frac{(x-1)^2 - 2(x-1)(x+1)}{(x-1)^4}=$$$$ = \frac{(x-1) - 2(x+1)}{(x-1)^3} = \frac{x-1 - 2x-2}{(x-1)^3} = - \frac{x+3}{(x-1)^3}$$ приравняем к 0 $$ \frac{x+3}{(x-1)^3} = 0 => x+3 = 0 => x=-3$$ функция имеет одну критическую (стационарную) точку.
Найдем значение функции в этой точке \(f(-3)= \frac{-3+1}{(-3-1)^2} = -\frac{1}{8} \), получили координаты критической точки \((-3; -\frac{1}{8})\)
Интервалы монотонности.
Функция имеет одну критическую точку и одну точку, в которой производная не определена (ОДЗ), они делят ось Ox на три интервала монотонности.
интервал \((-\infty; -3)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-4) = - \frac{-4+3)}{(-4-1)^3} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((-3; 1)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(0) = - \frac{0+3)}{(0-1)^3} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \((1; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(2) = - \frac{2+3)}{(2-1)^3} < 0\), на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критических точек получили,
для x = -3: \( - \quad 0 \quad +\), т.е. функция имеет точку минимума с координатами \((-3; -\frac{1}{8})\)
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( - \frac{x+3}{(x-1)^3})'= -\frac{(x-1)^3 - 3(x-1)^2(x+3)}{(x-1)^6}= $$$$ = -\frac{(x-1) - 3(x+3)}{(x-1)^4} = 2\frac{x+5}{(x-1)^4}$$ Приравняем к нулю $$ 2\frac{x+5}{(x-1)^4} = 0 => x+5 = 0 => x = -5 $$ Анализируем выпуклость на ОДЗ с учетом точки возможного перегибы
интервал \((-\infty; -5)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-10) = 2\frac{-10+5}{(10-1)^4} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((-5; 1)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(0) = 2\frac{0+5}{(0-1)^4} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \((1; + \infty )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(2) = 2\frac{2+5}{(2-1)^4} > 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция имеет одну точку, в которой вторая производная равна нулю \(x =-5\)- точка возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эту точку, рассмотрим эту точку
\(\quad - \quad 0 \quad +\) вторая производная знак поменяла. Найдем значение функции в этой точке \(f(-5) = \frac{-5+1}{(-5-1)^2} = -\frac{1}{9}\).
Координаты точки перегиба \((-5; -\frac{1}{9} )\)
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальную асимптоту x = 1 (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у=\frac{x+1}{(x-1)^2} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{x(x-1)^2} = 0 => k= 0$$ т.к. \(k =0\) - наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{(x-1)^2} = +0$$график функции стремится к y =0 сверху $$ \lim_{x \to - \infty} \frac{x+1}{(x-1)^2} = -0$$график функции стремится к y =0 снизу, получили , что
ось Oy - горизонтальная асимптота .
9. График функции.
