Найти предел функции \( \lim_{x \to \infty }(\frac{x+5}{x-7})^{\frac{x}{6}} \)
1. Находим значение функции в точке \(x =0\), получаем $$ \lim_{x \to \infty }(\frac{x+5}{x-7})^{\frac{x}{6}} = (\frac{ \infty}{ \infty})^{\infty} $$ Получили неопределенность вида \( (\frac{ \infty}{ \infty})^{\infty} \). Эта неопределенность раскрывается при помощи правила Лопиталя.
Правило Лопиталя: \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)} \) т.е согласно правила Лопиталя предел будет равен отношению производных числителя и знаменателя в точке.
2. Найдем предел по правилу Лопиталя.
Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся основным логарифмическим тождеством \(a^{\log_ax}=x\)
$$ \lim_{x \to \infty }(\frac{x+5}{x-7})^{\frac{x}{6}} = \lim_{x \to \infty }e^{\ln(\frac{x+5}{x-7})^{\frac{x}{6}}} = \lim_{x \to \infty }e^{\frac{x}{6}\ln(\frac{x+5}{x-7})} = e^{\lim_{x \to \infty }\frac{x}{6}\ln(\frac{x+5}{x-7})} \quad (1)$$ Найдем предел $$\lim_{x \to \infty }\frac{x}{6}\ln(\frac{x+5}{x-7}) = \infty * 0$$Для применения правила Лопиталя проведем преобразования, чтобы получить неопределенность вида \( \frac{0}{0}\)
$$ \lim_{x \to \infty }\frac{x}{6}\ln(\frac{x+5}{x-7}) = \lim_{x \to \infty }\frac{\ln(\frac{x+5}{x-7})}{\frac{6}{x}} = \frac{0}{0}$$Теперь можно применять правило Лопиталя, применим его
$$ \lim_{x \to \infty }\frac{ \ln(\frac{x+5}{x-7})}{ \frac{6}{x}} = \lim_{x \to \infty }\frac{ (\ln(\frac{x+5}{x-7}))'}{ (\frac{6}{x})'} = $$$$ =\lim_{x \to \infty } \frac{{ \frac{1}{\frac{x+5}{x-7}}*\frac{x-7-x-5}{(x-7)^2}}}{ -\frac{6}{x^2}}= \lim_{x \to \infty } \frac{-12}{(x-7)(x+5)}*(-\frac{x^2}{6}) =$$$$ = \lim_{x \to \infty } \frac{2x^2}{(x-7)(x+5)}= \lim_{x \to \infty } \frac{2x^2}{x^2-2x-35} = $$выносим из числителя и знаменателя переменную x наибольшей степени \(x^2\)$$ = \lim_{x \to \infty }\frac{x^2}{x^2} \frac{2}{1-\frac{2}{x}-\frac{35}{x^2}}=\lim_{x \to \infty } \frac{2}{1-\frac{2}{x}-\frac{35}{x^2}}=\frac{2}{1-0-0}=2$$ Подставляем результат в (1) $$(1) = e^{\lim_{x \to \infty }\frac{x}{6}\ln(\frac{x+5}{x-7})} = e^2$$
Ответ: \( \lim_{x \to \infty }(\frac{x+5}{x-7})^{\frac{x}{6}}=e^2 \)
