Найти предел рациональной дроби \( \lim_{x \to 3}\frac{\sqrt{2x+3}-3}{\sqrt{x-2}-1}\)
1. Находим значение функции в точке \(x=3\), получаем $$ \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{2x+3}-3}{\sqrt{x-2}-1} = \frac{\sqrt{2*3+3}-3}{\sqrt{3-2}-1} = \frac{3-3}{1-1} = \frac{0}{0}$$ Получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\) Эту неопределенность можно раскрыть при помощи правила Лопиталя, заключающееся в следующем \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)} \) т.е согласно правила Лопиталя предел будет равен отношению производных числителя и знаменателя в точке.
2. Найдем производные и предел по правилу Лопиталя.
$$ \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{2x+3}-3}{\sqrt{x-2}-1} = \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{2x+3}-3)'}{(\sqrt{x-2}-1)'} = $$$$ = \lim_{x \to 3} \frac{\frac{2}{2\sqrt{2x+3}}}{\frac{1}{2\sqrt{x-2}}} = \lim_{x \to 3} \frac{2\sqrt{x-2}}{\sqrt{2x+3}}= $$$$ =\frac{2\sqrt{3-2}}{\sqrt{2*3+3}} = \frac{2}{3}$$
Ответ: \( \lim_{x \to 3}\frac{\sqrt{2x+3}-3}{\sqrt{x-2}-1} = \frac{2}{3}\)
