Найти предел рациональной дроби \(\lim_{x \to -3}\frac{x^{3}+7x^{2}+15x+9}{x^{3}+8x^{2}+21x+18}\)
1. Находим значение функции в точке \(x = -3\), получаем $$ \lim_{x \to -3}\frac{x^{3}+7x^{2}+15x+9}{x^{3}+8x^{2}+21x+18} = \frac{( -3)^{3}+7( -3)^{2}+15( -3)+9}{( -3)^{3}+8( -3)^{2}+21( -3)+18} = \frac{0}{0}$$ Получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\) Эта неопределенность раскрывается при помощи правила Лопиталя, заключающееся в следующем \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)} \) т.е согласно правила Лопиталя предел будет равен отношению производных числителя и знаменателя в точке.
2. Найдем производные и предел по правилу Лопиталя.
$$ \lim_{x \to -3}\frac{x^{3}+7x^{2}+15x+9}{x^{3}+8x^{2}+21x+18} = \lim_{x \to -3}\frac{(x^{3}+7x^{2}+15x+9)'}{(x^{3}+8x^{2}+21x+18)'} = $$$$ = \lim_{x \to -3}\frac{3x^2+14x+15}{3x^2+16x+21} = \frac{3(-3)^2+14(-3)+15}{3(-3)^2+16(-3)+21} = \frac{0}{0}$$Получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\) повторно применяем правило Лопиталя
3. Найдем производные и предел по правилу Лопиталя.
$$ \lim_{x \to -3} \frac{3x^2+14x+15}{(3x^2+16x+21} = \lim_{x \to -3} \frac{(3x^2+14x+15)'}{(3x^2+16x+21)'} = \lim_{x \to -3} \frac{6x+14}{6x+16} = \frac{6(-3)+14}{6(-3)+16} = \frac{-4}{-2}=2$$
Ответ: \(\lim_{x \to -3}\frac{x^{3}+7x^{2}+15x+9}{x^{3}+8x^{2}+21x+18} = 2\)
