Найти производную параметрически заданной функции

Найдем производную параметрически заданной функции \( \begin{cases}x=\frac{t}{\sqrt{1-t^2}} \arcsin(t) + \ln\sqrt{1-t^2}\\y=\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\end{cases}\)
1. Применим формулу производной параметрически заданной функции \(y(x)' = \frac{y'(t)}{x'(t)}\)
$$y'(x)= \frac{(\frac{t}{\sqrt{1-t^2}})'}{(\frac{t}{\sqrt{1-t^2}} \arcsin(t) + \ln\sqrt{1-t^2})'}= \quad (1)$$
Находим отдельно производные числителя и знаменателя
2. Производная числителя:
применим формулу производной дроби \( (\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x)}{(g(x))^2}\)
$$(\frac{t}{ \sqrt{1-t^2}})' = \frac{\sqrt{1-t^2} - t*(\sqrt{1-t^2})'}{(\sqrt{1-t^2})^2} = $$ применим формулу производной степенной функции \( x^n = nx^{n-1}\)
\((\sqrt{1-t^2})' = ((1-t^2)^{\frac{1}{2}})' = \frac{-2t}{2 \sqrt{1-t^2}} = \frac{-t}{ \sqrt{1-t^2}} \) подставляем
$$ = \frac{\sqrt{1-t^2} - t* \frac{-t}{ \sqrt{1-t^2}}}{1-t^2}=\frac{ 1-t^2 +t^2}{ (1-t^2) \sqrt{1-t^2}}= \frac{ 1}{ (1-t^2) \sqrt{1-t^2}}  \quad (2)$$
3. Производная знаменателя:
применим формулу производной суммы \((f(x) +g(x))' = f'(x) + g'(x)\)
$$(\frac{t}{\sqrt{1-t^2}} \arcsin(t) + \ln\sqrt{1-t^2})' =(\frac{t}{\sqrt{1-t^2}} \arcsin(t))' + (\ln\sqrt{1-t^2})' = \quad (3)$$рассмотрим каждое слагаемое
первое слагаемое
$$ (\frac{t}{\sqrt{1-t^2}} \arcsin(t))'  = $$ применим формулу производной произведения \((f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\) $$ = (\frac{t}{\sqrt{1-t^2}})'* \arcsin(t) + \frac{t}{\sqrt{1-t^2}}* (\arcsin(t))'  =$$$$ = \frac{\sqrt{1-t^2} - t*\frac{1}{2 \sqrt{1-t^2}}*(-2t)}{(\sqrt{1-t^2})^2}* \arcsin(t) + \frac{t}{\sqrt{1-t^2}}* \frac{1}{ \sqrt{1 - t^2}} =$$$$ =\frac{2(1-t^2) + 2t^2}{2(1 - t^2)\sqrt{1-t^2}}* \arcsin(t) + \frac{t}{1-t^2} = \frac{1}{(1 - t^2) \sqrt{1-t^2}}* \arcsin(t) + \frac{t}{1-t^2} \quad (4)$$
второе слагаемое
$$(\ln\sqrt{1-t^2})' = $$применим формулу производной сложной функции$$ = \frac{1}{ \sqrt{1-t^2}}*\frac{1}{2 \sqrt{1-t^2}}(-2t) = -  \frac{t}{1-t^2} \quad (5)$$
Подставляем (4) и (5) в (3)
$$(3) = \frac{1}{(1 - t^2) \sqrt{1-t^2}}* \arcsin(t) + \frac{t}{1-t^2}  -  \frac{t}{1-t^2}  =  \frac{1}{(1 - t^2) \sqrt{1-t^2}}* \arcsin(t)$$
4. Подставляем результаты (2) и (3) в (1)
$$(1) = \frac{\frac{ 1}{ (1-t^2) \sqrt{1-t^2}} }{ \frac{1}{(1 - t^2) \sqrt{1-t^2}}* \arcsin(t) } = \frac{ 1}{ \arcsin(t)}$$

Ответ: \( y'_x= \frac{ 1}{ \arcsin(t)} \)