Найти производную: $$\begin{cases}x=\sqrt{t^{4}-3t^{2}}\\y=5t^{3} +2\end{cases}$$

Найдем производную параметрически заданной функции \( \begin{cases}x= \sqrt{t^4-3t^2} \\ y=5t^3+2 \end{cases} \)
1. Применим формулу производной параметрически заданной функции \(y(x)' = \frac{y'(t)}{x'(t)}\)
$$y'(x)= \frac{(5t^3+2)'}{( \sqrt{t^4-3t^2})'}= \quad (1)$$
Находим отдельно производные числителя и знаменателя
2. Производная числителя:
применим формулу производной степенной функции \( ( x^n)' = nx^{n-1}\)
$$(5t^{3}+2)' =  15t^2 \quad (2)$$
3. Производная знаменателя:
применим формулу производной  степенной функции \( ( x^n)' = nx^{n-1}\) и формулу производной сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)\)
$$( \sqrt{t^4-3t^2})' = ((t^4-3t^2)^{ \frac{1}{2}}) = $$$$ =  \frac{1}{2 \sqrt{t^4-3t^2}}*(t^4-3t^2)' =  \frac{1}{2 \sqrt{t^4-3t^2}}*( 4t^3-6t) \quad (3)$$
4. Подставляем результаты (2) и (3) в (1)
$$ \frac{(5t^3+2)'}{( \sqrt{t^4-3t^2})'}=  \frac{15t^2}{\frac{1}{2 \sqrt{t^4-3t^2}}*( 4t^3-6t)} = $$$$ = \frac{15t^2*2 \sqrt{t^4-3t^2}}{2t( 2t^2-3)} = \frac{15t \sqrt{t^4-3t^2}}{ 2t^2-3}$$

Ответ: \( y'(x)= \frac{(5t^3+2)'}{( \sqrt{t^4-3t^2})'}= \frac{15t \sqrt{t^4-3t^2}}{ 2t^2-3} \)