Исследуем функцию \( y= \frac{x^3-27x+54}{x^3} \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю, т.е. \(x \ne 0\). ОДЗ $$D_f=(-\infty; 0) \cup (0;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва x = 0
исследуем точку x=0. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to 0+0} \frac{x^3-27x+54}{x^3} = \frac{54}{+0} = +\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to 0-0} \frac{x^3-27x+54}{x^3} = \frac{54}{-0} = -\infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \pm \infty\). Ось Oy является вертикальной асимптотой.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{(-x)^3-27(-x)+54}{(-x)^3} = \frac{-x^3+27x+54}{-x^3} \) функция не является ни четной ни нечетной.
4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \( \frac{x^3-27x+54}{x^3}= 0 => x^3-27x+54 = 0 => \). Находим корни многочлена третьей степени по методу Виета-Кардано и получаем один корни \( x_1=-6; x_2=3 \). Кривая имеет две точки пересечения с осью Ox в точке с координатами (-6;0); (3;0).
точка пересечения с осью Oy: Точек пересечения с осью Oy нет, ось Oy является вертикальной асимптотой.
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет две точки пересечения с осью Ox это x =-6 и x=3 и одну точку разрыва x = 0, т.е. четыре интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty;-6)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-10) = \frac{(-10)^3-27(-10)+54}{(-10)^3} > 0\), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox
интервал \((-6;0)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-3) = \frac{(-3)^3-27(-3)+54}{(-3)^3} < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((0;3)\) найдем значение функции в любой точке \(f(2) = \frac{2^3-27*2+54}{2^3} > 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox
интервал \((3 ; + \infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(10) = \frac{10^3-27*10+54}{10^3} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( \frac{x^3-27x+54}{x^3})'= \frac{(x^3-27x+54)'x^3 - 3x^2(x^3-27x+54)}{x^6}=$$$$ = \frac{(3x^2-27)x - 3(x^3-27x+54)}{x^4} = 3\frac{x^2-9x - x^3+27x-54}{x^4}=$$$$= 3\frac{18x-54}{x^4}=54\frac{x-3}{x^4}$$ приравняем к 0 $$ 54\frac{x-3}{x^4} = 0 => x-3 = 0 => x=3$$ функция имеет одну критическую (стационарную) точку.
Найдем значение функции в этой точке \(f(3)= 0 \), получили координаты критической точки \((3; 0)\)
Интервалы монотонности.
Функция имеет одну критическую точку и одну точку, в которой производная не определена (ОДЗ), они делят ось Ox на три интервала монотонности.
интервал \((-\infty; 0)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-4) = 54\frac{-4-3}{(-4)^4} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((0; 3)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(1) = 54\frac{1-3}{1^4} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((3; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(4) = 54\frac{4-3}{4^4} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критических точек получили,
для x = 3: \( - \quad 0 \quad +\), т.е. функция имеет точку минимума с координатами \((3;0)\)
6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( 54\frac{x-3}{x^4})'= 54\frac{x^4 - 4x^3(x-3)}{x^8}= $$$$ = 54\frac{x - 4(x-3)}{x^5} = 54\frac{ - 3x+12}{x^5} = -162\frac{ x -4}{x^5}$$ Приравняем к нулю $$ -162\frac{ x -4}{x^5} = 0 => x-4 = 0 => x = 4 $$ Анализируем выпуклость на ОДЗ с учетом точки возможного перегибы
интервал \((-\infty; 0)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-1) = -162\frac{ -1 -4}{(-1)^5} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((0; 4)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(2) = -162\frac{ 2 -4}{2^5} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \((4; + \infty )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(10) = -162\frac{ 10 -4}{10^5} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
Точки перегиба.
Функция имеет одну точку, в которой вторая производная равна нулю \(x =4\)- точка возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эту точку, рассмотрим эту точку
\(\quad + \quad 0 \quad -\) вторая производная знак поменяла. Найдем значение функции в этой точке \(f(4) = \frac{5}{32} \approx 0.156\).
Координаты точки перегиба \((4; \frac{5}{32} )\)
7. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальную асимптоту x = 0 (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= \frac{x^3-27x+54}{x^3} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3-27x+54}{x^4} = 0 => k= 0$$ т.к. \(k =0\) - наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3-27x+54}{x^3} = 1$$график функции стремится к y =1 снизу $$ \lim_{x \to - \infty} \frac{x^3-27x+54}{x^3} = 1$$график функции стремится к y =1 снизу, получили , что \(y =1\) - горизонтальная асимптота .
8. Построить график функции.
