Найдем производную \( e^{xy}+\arcsin\frac{x}{y}=0 \)
Уравнение функции задано в неявном виде.
Ищем производную функции заданную в неявном виде:
$$ (e^{xy}+\arcsin\frac{x}{y})' = (0)' => (e^{xy})'+( \arcsin\frac{x}{y})' = 0 \quad (1)$$
1. Применим формулу производной сложной функции \((u(v(x)))' = u'(v(x))*v'(x)\)
$$ (e^{xy})' = e^{xy} * (xy)' =\quad (2) $$ производную \((xy)'\) будем искать как производную произведения независимой переменной \(x\) и функции от \(x\) это \(y\), т.е. \((xy)' = (x)'*y + x*(y)' = y+xy' \), получаем $$(2) = e^{xy} * (xy)' = e^{xy}(y+xy') $$
Ищем производную \(( \arcsin\frac{x}{y})'\) применяем формулу производной сложной функции $$( \arcsin\frac{x}{y})'= \frac{1}{ \sqrt{1 - ( \frac{x}{y})^2}}*(\frac{x}{y})' = \quad (3)$$ для нахождения производной \((\frac{x}{y})' \) применим формулу производной дроби, получим \( (\frac{x}{y})' = \frac{(x)'*y-x*(y)'}{y^2} = \frac{y-xy'}{y^2} \) подставляем в производную арксинуса (3) $$(2) = \frac{1}{ \sqrt{1 - ( \frac{x}{y})^2}}*(\frac{x}{y})' = \frac{1}{ \sqrt{1 - ( \frac{x}{y})^2}}* \frac{y-xy'}{y^2}$$
2. Подставляем полученные результаты в (2) и (3) в (1)
$$(1) \quad e^{xy}(y+xy') + \frac{1}{ \sqrt{1 - ( \frac{x}{y})^2}}* \frac{y-xy'}{y^2} =0 =>$$Проведем преобразование полученного результата и найдем функцию \( y' = f(x,y)\) $$ ye^{xy}+xy'e^{xy} + \frac{1}{ \sqrt{1 - ( \frac{x}{y})^2}} \frac{1}{y} - \frac{1}{ \sqrt{1 - ( \frac{x}{y})^2}}\frac{xy'}{y^2} =0 => $$$$ xy'e^{xy} - \frac{1}{ \sqrt{1 - ( \frac{x}{y})^2}}\frac{xy'}{y^2} =-ye^{xy} - \frac{1}{ y\sqrt{1 - ( \frac{x}{y})^2}} => $$$$y' = \frac{ye^{xy}+ \frac{1}{ y\sqrt{1 - ( \frac{x}{y})^2}}}{ \frac{1}{ \sqrt{1 - ( \frac{x}{y})^2}}\frac{x}{y^2} -xe^{xy}}$$
