Найти производную параметрически заданной функции

Найдем производную параметрически заданной функции \( \begin{cases}x=\frac{t}{\sqrt{1-t^2}} \arcsin \ln\sqrt{1-t^2}\\y=\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\end{cases}\)
1. Применим формулу производной параметрически заданной функции \(y(x)' = \frac{y'(t)}{x'(t)}\)
$$y'(x)= \frac{(\frac{t}{\sqrt{1-t^2}})'}{(\frac{t}{\sqrt{1-t^2}} \arcsin \ln\sqrt{1-t^2})'}= \quad (1)$$
Находим отдельно производные числителя и знаменателя
2. Производная числителя:
применим формулу производной дроби \( (\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x)}{(g(x))^2}\)
$$(\frac{t}{ \sqrt{1-t^2}})' = \frac{\sqrt{1-t^2} - t*(\sqrt{1-t^2})'}{(\sqrt{1-t^2})^2} = $$ применим формулу производной степенной функции \( x^n = nx^{n-1}\)
\((\sqrt{1-t^2})' = ((1-t^2)^{\frac{1}{2}})' = \frac{-2t}{2 \sqrt{1-t^2}} = \frac{-t}{ \sqrt{1-t^2}} \) подставляем
$$ = \frac{\sqrt{1-t^2} - t* \frac{-t}{ \sqrt{1-t^2}}}{1-t^2}=\frac{ 1-t^2 +t^2}{ (1-t^2) \sqrt{1-t^2}}= \frac{ 1}{ (1-t^2) \sqrt{1-t^2}}  $$
3. Производная знаменателя:
применим формулу производной произведения \((f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)
$$(\frac{t}{\sqrt{1-t^2}} \arcsin \ln\sqrt{1-t^2})' = (\frac{t}{\sqrt{1-t^2}})'* \arcsin \ln\sqrt{1-t^2} + \frac{t}{\sqrt{1-t^2}}( \arcsin \ln\sqrt{1-t^2})' = \quad (2)$$ применим формулу производной дроби
\( (\frac{t}{\sqrt{1-t^2}})' = \frac{ 1}{ (1-t^2) \sqrt{1-t^2}} \)
применим формулу производной сложной функции
\( ( \arcsin \ln\sqrt{1-t^2})' = \frac{1}{ \sqrt{1 - (\ln\sqrt{1-t^2})^2}}*(\ln\sqrt{1-t^2})' = \frac{1}{ \sqrt{1 - (\ln\sqrt{1-t^2})^2}}* \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}* \frac{-t}{\sqrt{1-t^2}} \) подставляем в (2)
$$ (2) = \frac{ 1}{ (1-t^2) \sqrt{1-t^2}}* \arcsin \ln\sqrt{1-t^2} + \frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\frac{1}{ \sqrt{1 - (\ln\sqrt{1-t^2})^2}}* \frac{-t}{1-t^2} =$$$$
= \frac{ 1}{ (1-t^2) \sqrt{1-t^2}}( \arcsin \ln\sqrt{1-t^2} - \frac{t^2}{ \sqrt{1 - (\ln\sqrt{1-t^2})^2}}) $$
4. Подставляем результаты (2) и (3) в (1)
$$(1) = \frac{\frac{ 1}{ (1-t^2) \sqrt{1-t^2}} }{ \frac{ 1}{ (1-t^2) \sqrt{1-t^2}}( \arcsin \ln\sqrt{1-t^2} - \frac{t^2}{ \sqrt{1 - (\ln\sqrt{1-t^2})^2}}) } = \frac{1}{  \arcsin \ln\sqrt{1-t^2} - \frac{t^2}{ \sqrt{1 - (\ln\sqrt{1-t^2})^2}}}$$

Ответ: \( y'_x=\frac{1}{  \arcsin \ln\sqrt{1-t^2} - \frac{t^2}{ \sqrt{1 - (\ln\sqrt{1-t^2})^2}}} \)