Найти производную: $$y=-\frac{1}{2}e^{-x^{2}}(x^{4}+2x^{2}+2)$$

Найдем производную функции \(y=-\frac{1}{2}e^{-x^2}(x^4+2x^2+2)\)
1. Применим формулу производной произведения двух функций \((f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
$$y'=(-\frac{1}{2}e^{-x^2}(x^4+2x^2+2))' = -\frac{1}{2}[(e^{-x^2})'(x^4+2x^2+2) + e^{-x^2}(x^4+2x^2+2)'] = \quad (1)$$
2. Применим формулу производной сложной функции \((u(v(x)))' = u'(v(x))*v'(x)\)
\((e^{-x^{2}})' = e^{-x^{2}}*(-2x)\)
3. Применим формулу степенной функции \(x^n = nx^{n-1}\)
\((x^{4}+2x^2+2)') = 4x^3+4x\)
4. Подставим результат в (1)
$$ = -\frac{1}{2}[ e^{-x^{2}}*(-2x)(x^4+2x^2+2) + e^{-x^2}(4x^3+4x)] = -\frac{1}{2}e^{-x^{2}}(-2x)[(x^4+2x^2+2) - (2x^2+2)] = $$$$ = -\frac{1}{2}e^{-x^{2}}(-2x)[x^4+2x^2+2 - 2x^2-2] = e^{-x^{2}}x^5 $$
Ответ: \(y'=(-\frac{1}{2}e^{-x^2}(x^4+2x^2+2))' = e^{-x^{2}}x^5 \)