Докажем методом математической индукции, что $$1*3+2*5+...+n(2n+1)=\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$$
Доказательство методом математической индукции состоит из 3-х шагов.
Рассмотрим их подробно:
1 -й шаг. Проверяем истинность утверждения при \(n = 1\). Подставляем в нашу формулу \(n= 1\) и убедимся в этом $$1*(2*1+1)=\frac{1*(1+1)(4*1+5)}{6} => 3 = 3$$Т.е. получили истинное равенство \(3 = 3\). Для проверки можно подставить \(n=2\) . Подставляем \(n=2\) в формулу \(3+2*(2*2+1)=\frac{2*(2+1)(4*2+5)}{6} => 13 = 13\). Опять получили истинное равенство (так и должно было быть, мы же доказываем истинность для любого \(n\)). Теперь пора переходить ко второму шагу.
2 - й шаг. Предположим (будем считать), что равенство истинно при \(n = n\), т.е. \(1*3+2*5+...+n(2n+1)=\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}\) - истинно.
3-й шаг. Необходимо доказать истинность равенства при \(n = n+1\). Если мы докажем истинность этого равенства, то это будет означать истинность для любого \(n\). Подставим \(n = n+1\) в нашу формулу $$1*3+2*5+...+n(2n+1) + (n+1)(2(n+1)+1)=\frac{(n+1)(n+1+1)(4(n+1)+5)}{6} => $$$$ 1*3+2*5+...+n(2n+1) + (n+1)(2n+3)=\frac{(n+1)(n+2)(4n+9)}{6} \quad (1)$$ Докажем истинность равенства (1). Доказывать будем следующим образом. Рассмотрим левую часть равенства $$ 1*3+2*5+...+n(2n+1) + (n+1)(2n+3) = \quad (2)$$ и преобразуем ее к правой части. Первые n - членов ряда, согласно п.2 равны \(1*3+2*5+...+n(2n+1)=\frac{n(n+1)(4n+5)}{6} \) подставим в формулу (2), получаем $$ = \frac{n(n+1)(4n+5)}{6} + (n+1)(2n+3)= \frac{n+1}{6}(n(4n+5)+6(2n+3))=$$$$ = \frac{n+1}{6}(4n^2+5n+12n+18))= \frac{n+1}{6}(4n^2+17n+18))= $$ найдем корни квадратного уравнения $$ = \frac{n+1}{6}4*(x+2)(x+\frac{9}{4})= \frac{(n+1)(x+2)(4x+9)}{6} $$ Путем преобразований левой части (2) получили правую часть.
Равенство доказано методом математической индукции.
