Докажем методом математической индукции формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии $$S_n=\frac{a_1 + a_n}{2}n$$
Теория:
Арифметическая прогрессия (алгебраическая) — числовая последовательность вида \(a_1, a_2, a_3, ... a_{n-1}, a_n\) то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (шага, или разности прогрессии):
$$ a_n = a_{n-1} + d $$
Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена арифметической прогрессии:
$$ a_n = a_1 + d(n-1) $$
где \(a_1\) - первый член прогрессии,
\(d\) - шага, или разности прогрессии.
Алгоритм доказательство методом математической индукции
состоит из 3-х шагов.
Рассмотрим подробно:
1 -й шаг. Проверяем истинность утверждения при \(n = 2\), т.е. проверим истинность формулы суммы для первых двух членов прогрессии \(a_1\) и \(a_2 \). Подставляем в нашу формулу \(n= 2, a_1,a_2\) и убедимся в этом $$ S_2 = \frac{ a_1 + a_2}{2}*2 = a_1 + a_2 $$ Т.е. получили искомую формулу. Для проверки (для метода индукции это не обязательно) можно подставить \(n=3\) и рассмотрим первые три члена прогрессии \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\), подставляем в формулу и воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии \(a_n = a_1 + d(n-1)\)$$ S_3= \frac{a_1 + a_3}{2}*3 = \frac{ a_1 + a_1+2d}{2}*3 = 3(a_1+d) = $$$$ = a_1 + (a_1 + d)+ (a_1+2d) = a_1+a_2+a_3 $$ Опять получили истинное равенство (так и должно было быть, мы же доказываем истинность для любого \(n\)). Теперь пора переходить ко второму шагу.
2 - й шаг. Предположим (будем считать), что сумма истинна при \(n = n\) членах арифметической прогрессии, т.е. \(S_n=\frac{a_1 + a_n}{2}n \) - истинно.
3-й шаг. Необходимо доказать истинность суммы при \(n = n+1\) членах арифметической прогрессии. Если мы докажем истинность этой суммы, то это будет означать истинность для любого \(n\). Подставим \(n = n+1\) член прогрессии в формулу суммы $$ S_{n+1}=\frac{a_1 + a_{n+1}}{2}(n+1) $$ проведем преобразование этой формулы так, чтобы получить формулу \(S_{n+1} =S_{n}+a_{n+1}\), т.е. сумма первых \(n+1\) члена арифметической прогрессии равна сумме первых \(n\) членов плюс \(n+1\) член. Воспользуемся формулой \(n\)-го члена арифметической прогрессии \(a_n = a_{n-1} + d\) $$ S_{n+1}= \frac{a_1 + a_n + d}{2}(n+1) = \frac{a_1 + a_n + d}{2}n + \frac{a_1 + a_n + d}{2} = $$$$= \frac{a_1 + a_n}{2}n + \frac{d}{2}n + \frac{a_1 + a_n + d}{2} = $$ из п.2 известно, что \(S_n=\frac{a_1 + a_n}{2}n \), т.е. получили $$ = S_n + \frac{d}{2}n + \frac{a_1 + a_n + d}{2} = S_n + \frac{a_1 + a_n + d+d*n}{2} = $$ воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии \( a_n = a_1 + d(n-1) => a_{n+1} = a_1 + d*n\) $$ = S_n + \frac{a_{n+1} + a_n + d}{2} =$$ воспользуемся формулой \(n\) - го члена арифметической прогрессии \(a_n = a_{n-1}+1\). В формуле мы имеем \(a_n+d = a_{n+1}\), получили $$ = S_n + \frac{a_{n+1} + a_{n+1}}{2} = S_n + a_{n+1} $$ что и требовалось доказать.
Формула суммы \(n\) членов арифметической прогрессии \( S_{n} = \frac{a_1 + a_{n}}{2}n \) доказана методом математической индукции.
