Задача 2. В качестве примера рассчитаем электрическую четырехполюсную цепь (см. рисунок). Пусть даны величины элементов цепей R= 1 кОм, L= 1 мГн, а также частота ω = 106 рн/c, амплитуда Umвх = 1 В и начальная фаза φвх = 30о гармонического входного напряжения uвх(t).
1. Данная линейная электрическая цепь находится под воздействием гармонического колебания, поэтому для ее расчета применим символический метод. Определим вначале ток в цепи i(t), основываясь на комплексном представлении реальной цепи, в которой резистор и катушка индуктивности заменены их комплексными образами, а гармонические электрические колебания — их комплексными амплитудами (смотри рисунок).
Ток в цепи i(t) определяем символическим методом, выполняя четыре последовательных шага.
· Гармоническое воздействие uвх(t) заменяется его комплексной амплитудой:
uвх(t) = Umвхcos (ωt + φвх) = 1 cos (106 t + 30о) 
Umвх = 
.
· Определяется входное сопротивление цепи:
Zвх = ZR + ZL = R + j ω L = 103 + j 106 10–3 =
=103 (1 + j) = 103 
.
· По закону Ома в комплексной форме ток в цепи равен
Im = Umвх / Zвх = 
= Im
.
· Совершая обратный переход от комплексной формы тока Im к действительной i(t), имеем искомый ток:
i (t) = Im cos (ωt + φi) = 0,707 cos (106 t – 15о), мА.
Напряжения на элементах цепи R и Lв комплексной форме определяются по закону Ома:
UmR =UmR 
= ImZR = ImR = 
103 = 
;
UmL = Umвых= UmL
= Im ZL= Im j ω L=
=103
=
.
Соответствующие гармонические напряжения на этих элементах получают обратным переходом:
uR(t) = UmR cos (ωt + φ1) = 0,707 cos (106 t – 15о), В;
umL (t) = umвых (t) = UmL cos (ωt + φ2) = 0,707 cos (106 t + 75о), В.
2. Построение векторных диаграмм токов и напряжений (см. 7.7 [1]) для рассчитываемой цепи выполняется по результатам расчетов. Вначале в выбранном масштабе строится вектор входного напряжения Umвх под углом φвх = 30о, затем строится вектор тока в цепи Im под углом φi = –150, вектор UmR совпадает с ним по направлению, из конца этого вектора под прямым углом проводится вектор UmL. Геометрическая сумма этих векторов равна вектору Umвх. Данная векторная диаграмма является топографической.
3. С помощью пакета «MC9» можно сделать проверку верности расчетов только для амплитуд напряжений гармонических колебаний. Фазовые сдвиги между напряжениями могут быть определены расчетным путем по показаниям визиров на осциллограммах.
На рабочем столе пакета собирается электрическая схема и с помощью кнопки «1» обозначаются узлы схемы 1 и 2. На схеме присутствуют имена и указаны величины элементов схемы. В качестве источника V1 выбран синусоидальный генератор с амплитудой напряжения 1В, начальной фазой 30 градусов (0,3927 радиан), частотой 159183 Герц (ω = 106 рн/c) и нулевым внутренним сопротивлением (минимально возможное сопротивление взято равным 1n). Далее в меню выбирается раздел «Analysis» и в нем опция «Transient» — моделирование во временной области. В окне установки параметров и пределов моделирования задаются сведения, необходимые для запуска программы расчета. Результат моделирования приведен на рисунке справа.
На верхней осциллограмме представлено напряжение гармонического генератора, на нижней — напряжение в узле схемы 1. Выноски на осциллограммах показывают координаты максимальных значений одноименных периодов колебаний. Видно, что амплитуда напряжения на катушке составляет 0,707 от амплитуды генератора, что подтверждает расчет. Что касается сдвига фаз между этими напряжениями, то прежде всего на осциллограммах видно, что напряжение на катушке опережает напряжение генератора. Остается оценить, насколько? Временной сдвиг колебаний составляет (см. координаты визиров)
Δt = 13,742 u –12,957 u = 0,785 u,
следовательно, фазовый сдвиг в радианах равен
Δφ = 
= 0,785,
где Т — период колебаний, Т = 
= 2π 
с = 2π u.
Фазовый сдвиг в градусах равен
Δφ = 0,785·57,3 = 44,98°.
Этот результат подтверждает расчет: действительно, фаза напряжения генератора равна +30°, фаза напряжения на катушке +75°, сдвиг фаз между ними равен +45°, напряжение на катушке опережает по фазе напряжение источника.
