Провести полное исследование функции и построить ее график: $$y=xe^{-x}$$

Исследуем функцию $y = xe^{-x}$ и построим ее график.
1. Область определения.
  $$D_f= x \in R$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Точек разрыва у функции нет.

3. Четность функции.
Проверяем на четность $f(-x) = (-x)e^{-(-x)} = -xe^x$ функция является нечетной, т.е. симметричной относительно начала координат.

4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем $y=0$, получим $$xe^{-x} = 0 => x = 0$$ точка пересечения с осью Ox имеет координаты (0;0)
точка пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять $x=0$ $$0*e^{-0} = y => y = 0$$ точка пересечения с осью Oy имеет координаты (0;0)
Т.к. есть одна тоска пересечения с осью Ox, значит есть два интервала знакопостоянства функции. Определим знак функции на этих интервалах
интервал $(-\infty;0)$ найдем значение функции в любой точке $f(-1) = -1*e^{1} < 0$, т.е. на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0$
интервал $(0; + \infty)$ найдем значение функции в любой точке $f(1) = 1*e^{1}  > 0$, т.е. на этом интервале функция положительная $f(x) > 0$

5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (xe^{-x})' = e^{-x} + xe^{-x}*(-1) =>$$ $$y' = e^{-x}(1 - x)$$ приравняем к 0 $$e^{-x}(1 - x) = 0 => 1 - x => x = 1$$ Получили одну критическую точку, значит два интервала монотонности
интервал $(-\infty; 1)$ определим знак производной на интервале $f'(0) = e^{-0}(1 - 0) >  0$ - функция возрастает
интервал $( 1; +\infty)$ определим знак производной на интервале $f'(2) = e^{-2}(1 - 2) <  0$ - функция убывает

Экстремумы функции.
В критической точке $x = 1$ функция меняла знак с $+ \quad 0 \quad -$ - точка максимума, координаты точки максимума $(1;\frac{1}{e})$

6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (e^{-x}(1 - x))' = e^{-x}(1 - x)=-e^{-x}(1 - x) - e^{-x}=$$ $$=-e^{-x}(-1 + x - 1)=e^{-x}(x-2)$$ приравняем к нулю $$e^{-x}(x-2) = 0 => x-2 =0 => x=2$$ Получили одну точки перегиба и два интервала выпуклости.
Определим выпуклость на интервалах
$(-\infty; 2)$ определим знак второй производной на интервале $f''(-2) = (-2-2)*e^{2}  < 0$ - функция выпуклая вверх (вогнутая)
$(2; +\infty)$ определим знак второй производной на интервале $f''(3) = (3-2)*e^{-2}  > 0$ - функция выпуклая вниз (выпуклая)
Точками перегиба являются точки в которых график функции меняет свою выпуклость.
Рассмотрим нашу точку
в точке $2$ - выпуклость меняется с $- \quad 0 \quad +$ - точка перегиба с координатами $(2; 2e^{-2})$

7. Асимптоты.
Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. ОДЗ $x \in R$.

Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции $y = xe^{-x}$  при $x \to \infty$ имел наклонную асимптота $y = kx+b$, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k$$ находим его $$\lim_{x \to +\infty}e^{-x} =0 => k=0$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ находим его $$\lim_{x \to +\infty}(xe^{-x}) = 0$$ получили, что график функции $y = xe^{-x}$ наклонных асимптот не имеет, но имеет горизонтальную асимптоту $y = 0$

Проанализируем поведение функции вдоль оси Ox $$\lim_{x \to +\infty}xe^{-x}= +0$$ т.е. график приближается к оси Ox сверху, а при $$\lim_{x \to -\infty}xe^{-x}= \lim_{x \to \infty}-xe^{x} = - \infty$$ т.е. график функции стремится в $-\infty$.
Получили, что ось Ox - горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$

8. График функции.