Исследуем функцию \(y = xe^{-x}\) и построим ее график.
1. Область определения.
$$D_f= x \in R$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Точек разрыва у функции нет.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = (-x)e^{-(-x)} = -xe^x\) функция является нечетной, т.е. симметричной относительно начала координат.
4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим $$xe^{-x} = 0 => x = 0$$точка пересечения с осью Ox имеет координаты (0;0)
точка пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(x=0\) $$0*e^{-0} = y => y = 0$$ точка пересечения с осью Oy имеет координаты (0;0)
Т.к. есть одна тоска пересечения с осью Ox, значит есть два интервала знакопостоянства функции. Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty;0)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-1) = -1*e^{1} < 0\), т.е. на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \)
интервал \((0; + \infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(1) = 1*e^{1} > 0\), т.е. на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \)
5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (xe^{-x})' = e^{-x} + xe^{-x}*(-1) =>$$$$y' = e^{-x}(1 - x)$$ приравняем к 0 $$e^{-x}(1 - x) = 0 => 1 - x => x = 1$$ Получили одну критическую точку, значит два интервала монотонности
интервал \((-\infty; 1)\) определим знак производной на интервале \(f'(0) = e^{-0}(1 - 0) > 0 \) - функция возрастает
интервал \(( 1; +\infty)\) определим знак производной на интервале \(f'(2) = e^{-2}(1 - 2) < 0 \) - функция убывает
Экстремумы функции.
В критической точке \(x = 1\) функция меняла знак с \(+ \quad 0 \quad - \) - точка максимума, координаты точки максимума \((1;\frac{1}{e})\)
6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (e^{-x}(1 - x))' = e^{-x}(1 - x)=-e^{-x}(1 - x) - e^{-x}=$$$$ =-e^{-x}(-1 + x - 1)=e^{-x}(x-2)$$ приравняем к нулю $$e^{-x}(x-2) = 0 => x-2 =0 => x=2 $$Получили одну точки перегиба и два интервала выпуклости.
Определим выпуклость на интервалах
\((-\infty; 2)\) определим знак второй производной на интервале \(f''(-2) = (-2-2)*e^{2} < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая)
\((2; +\infty)\) определим знак второй производной на интервале \(f''(3) = (3-2)*e^{-2} > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая)
Точками перегиба являются точки в которых график функции меняет свою выпуклость.
Рассмотрим нашу точку
в точке \(2\) - выпуклость меняется с \(- \quad 0 \quad + \) - точка перегиба с координатами \((2; 2e^{-2})\)
7. Асимптоты.
Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. ОДЗ \(x \in R\).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(y = xe^{-x}\) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}e^{-x} =0 => k=0$$и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}(xe^{-x}) = 0 $$получили, что график функции \(y = xe^{-x}\) наклонных асимптот не имеет, но имеет горизонтальную асимптоту \( y = 0\)
Проанализируем поведение функции вдоль оси Ox $$ \lim_{x \to +\infty}xe^{-x}= +0$$ т.е. график приближается к оси Ox сверху, а при $$ \lim_{x \to -\infty}xe^{-x}= \lim_{x \to \infty}-xe^{x} = - \infty $$т.е. график функции стремится в \(-\infty\).
Получили, что ось Ox - горизонтальная асимптота при \(x \to +\infty\)
8. График функции.
