Найдем площадь фигуры, ограниченную кривыми y=x^3+2; \quad x=0 \quad y=x+6 \quad x = -2 .
1. Сделаем чертеж, на чертеже обозначим фигуру, площадь которой требуется найти.

2. Найдем площадь фигуры ABCD.
Фигура, ограниченная заданными кривыми - ABCD.
Из рисунка видно, что S_{ABCD} = S_{FBCDM} + S_{AFM}
В то же время S_{FBCDM} = S_{FBCO} - S_{MDO} где FBCO - прямоугольная трапеция, т.е. окончательно получим S_{ABCD} = S_{FBCO} - S_{MDO} + S_{AFM} = S_{FBCO} - (S_{MDO} - S_{AFM})
Найдем площадь прямоугольной трапеции FBCO по формуле площади трапеции S_{трап} = \frac{a+b}{2}h.
Найдем основания и высоту трапеции
основание a = FB = 4 - равно ординате (y) точки пересечения прямых x = -2 и (y=x+6), т.е. y = -2 + 6 = 4
основание b = OC = 6 - равно ординате (y) точки пересечения прямой (y=x+6) и оси Oy,т.е. y = 0 + 6 = 6
высота h = FO = 2
тогда площадь трапеции равна S_{FBCO} = \frac{4+6}{2}*2=10
Найдем площадь S = S_{MDO} - S_{AFM}.
Для нахождения этих площадей воспользуемся геометрическим смыслом определенного интеграла - интеграл равен площади фигуры, ограниченной графиком функции y = x^3+2, осью y = 0, прямыми x = 0 и x = -2.
Нужно учесть, что значение определенного интеграла над осью Ox будет дольше 0 , а значение под осью Ox будет меньше 0, т.е. интеграл нам даст S = S_{MDO} - S_{AFM} , а это нам и нужно, т.е. в данном случае нет необходимости находить координату точки M и искать два определенных интеграла от функции y = x^3+2 на отрезках FM и MO, а затем их вычитать \int_{-2}^0 (x^3+2)dx = \frac{1}{4}x^4+2x|_{-2}^0 = 0 - (\frac{1}{4}(-2)^4+2(-2)) = -4+4=0Это означает, что S_{MDO} = S_{AFM}.
Окончательно получаем S_{ABCD} = S_{FBCO} = 10