Для решения задачи введем следующие обозначения
\(x_1\) - количество птиц первого вида
\(x_2\) - количество птиц второго вида
\(x_3\) - количество птиц второго вида
Составим уравнения, исходя из условия задачи
1. В ареал переселили популяцию птиц трех видов общей численностью 10 000 особей, получаем уравнение $$x_1 + x_2 + x_3 = 10000$$
2. Согласно наблюдениям:
первая популяция выросла на 3% , т.е. на \( 0,03x_1\)
вторая популяция выросла на 4% , т.е. на \( 0,04x_2\)
третья популяция выросла на 5% , т.е. на \( 0,05x_2\)
при этом общий рост численности птиц составил 395 особей
получили второе уравнение $$0,03x_1 + 0,04x_2 + 0,05x_2 = 395 = > 3x_1 + 4x_2 + 5x_2 = 39500$$
3. Прирост популяции первого вида равен приросту популяции третьего вида $$3x_1 = 5x_3 => 3x_1 - 5x_3 =0$$
Получили три уравнения и три неизвестны, составляем систему уравнений:
$$ \begin{cases}x_1 + x_2 + x_3 = 10000\\3x_1 + 4x_2 + 5x_2 = 39500 \\ 3x_1 +0 - 5x_3 =0\end{cases}$$
Получим матрицу системы из коэффициентов при неизвестных $$A = \left (\begin{array}{c}1& 1 &1\\3 & 4 & 5 \\ 3 & 0 & - 5\end{array}\right ) $$
Решим систему уравнений методом Крамера:
1. Найдем определитель матрицы системы: $$\triangle= det A = \left|\begin{array}{c}1& 1 &1\\3 & 4 & 5 \\ 3 & 0 & - 5\end{array}\right| = 1*4*(-5) + 1*5*3 + 3*0*1-3*4*1 - 0*5*1- 3*1*(-5) = -2 \ne 0$$
Получили, что определитель системы не равен нулю \( \triangle \ne 0\), т.е. согласно Правила Крамера система уравнений имеет единственное решение, найдем его.
2. Находим определители \(\triangle_1 \), \(\triangle_2 \), \(\triangle_3 \).
Находим определитель \(\triangle_1 \).Заменим первый столбец матрицы A столбцом свободных членов $$ \triangle_1 = \left|\begin{array}{c}10000& 1 &1\\ 39500 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & - 5\end{array}\right| = 10000*4*(-5)+1*5*0+0*39500*1- 0*4*1-0*5*1000-39500*1*(-5) = -2500$$
Находим определитель \(\triangle_2 \). Заменим второй столбец матрицы A столбцом свободных членов $$ \triangle_2 = \left|\begin{array}{c}1& 10000 &1\\3 & 39500 & 5 \\ 3 & 0 & - 5\end{array}\right| = 1*39500*(-5) + 10000*5*3+3*0*1 - 3*39500*1-0*5*1-3*10000*(-5)=-16000$$
Находим определитель \(\triangle_3 \). Заменим третий столбец матрицы A столбцом свободных членов $$ \triangle_3 = \left|\begin{array}{c}1& 1 &10000\\3 & 4 & 39500 \\ 3 & 0 & 0\end{array}\right|=1*4*0+1*39500*3+3*0*10000-3*4*10000-0*39500*1-3*1*0=-1500$$
3. Находим значения переменных
$$x_1 = \frac{\triangle_1}{\triangle} = \frac{-2500}{-2} = 1250$$
$$x_2 = \frac{\triangle_2}{\triangle} = \frac{-1600}{-2} = 8000$$
$$x_3 = \frac{\triangle_3}{\triangle} = \frac{-1500}{-2} = 750$$
Решим систему уравнений методом Гаусса:
1. Составляем расширенную матрицу системы $$(A|b) = \left(\begin{array}{c}1& 1 &1\\3 & 4 & 5 \\ 3 & 0 & - 5 \end{array}\left|\begin{array}{c} 10000\\ 39500\\ 0 \end{array}\right.\right) =$$
2.Приводим матрицу к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования над строками полученной матрицы \( (A|b)\). В качестве ведущего элемента лучше взять элемент первого столбца с коэффициентом равным одному \( a_{11} =1\). Все элементы первого столбца ниже ведущего приведем к нулю при помощи элементарных преобразований строк.
Умножим первую строку на 3 и вычтем из второй строки $$= \left(\begin{array}{c}1& 1 &1\\0 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & - 5 \end{array}\left|\begin{array}{c} 10000\\ 9500\\ 0 \end{array}\right.\right) = $$
Умножим первую строку на 3 и вычтем из третьей строки $$= \left(\begin{array}{c}1& 1 &1\\0 & 1 & 2 \\ 0 & -3 & - 8 \end{array}\left|\begin{array}{c} 10000\\ 9500\\ -30000 \end{array}\right.\right) = $$
Выбираем в качестве ведущего элемент \(a_{22} =1\).
Умножим вторую строку на 3 и складываем с третьей строкой $$=\left(\begin{array}{c}1& 1 &1\\0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & - 2 \end{array}\left|\begin{array}{c} 10000\\ 9500\\ -1500 \end{array}\right.\right) =$$
из третьей строки вынесем -2 $$=\left(\begin{array}{c}1& 1 &1\\0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 10000\\ 9500\\ 750 \end{array}\right.\right) =$$
3. Ранг матрицы. Получили, что ранг матрица \(A\) равен равен рангу расширенной матрицы \((A|b)\) (число ненулевых строка в матрицах) и равен числу неизвестных$$n =rg(A|b) = rgA =3$$ согласно теоремы Кронекера-Капелли система уравнений совместна, т.е. имеет решения, а так как ранг матриц равен числу неизвестных , то все неизвестные будут базисными, т.е. система имеет единственное решение.
4. Приводим матрицу A к упрощенному виду (обратный ход Гаусса).
Выбираем в качестве ведущего элемент \(a_{33} =1\).
Умножим третью строку на 2 и вычтем из второй строки $$ =\left(\begin{array}{c}1& 1 &1\\0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 10000\\ 8000\\ 750 \end{array}\right.\right) =$$
Вычтем из первой строки третью $$ =\left(\begin{array}{c}1& 1 &0\\0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 9250\\ 8000\\ 750 \end{array}\right.\right) =$$
Вычтем из первой строки вторую $$ =\left(\begin{array}{c}1& 0 &0\\0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 1250\\ 8000\\ 750 \end{array}\right.\right) $$
Привели матрицу A к упрощенному виду.
5. Решение системы уравнений $$ x = \left(\begin{array}{c} 1250\\ 8000\\ 750\end{array}\right)$$
Ответ: начальная численность популяции птиц по видам \(x_1 = 1250 \), \(x_2 = 8000 \), \(x_3 = 750 \)
