Исследуем функцию \( y= x \sqrt{1-x} \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения : подкоренное выражение больше или равно нулю. \(1 - x \geq 0 => x \leq 1 \), т.е. ОДЗ $$D_f=(-\infty; 1]$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция не имеет точек разрыва.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) =(-x) \sqrt{1+x} \) функция не является ни четной ни нечетной.
4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \( x \sqrt{1-x} = 0 => x_1=0; x_2=1 \) Кривая имеет две точки пересечения с осью Ox в точках с координатами (0;0) и (1;0).
точка пересечения с осью Oy: приравняем \(x=0\), получим \( y = \frac{x}{x^2-1} = 0 => y=0 \) Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке с координатами (0;0).
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет две точку пересечения с осью Ox x = 0 и x=1, т.е два интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty; 0)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-1) =y= (-1) \sqrt{1+1} < 0\), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((0; 1)\) найдем значение функции в любой точке \(f(0.5) = y= 0.5 \sqrt{1-0.5} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox.
5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (x \sqrt{1-x})' = \sqrt{1-x} - x \frac{1}{ 2\sqrt{1-x}} =$$$$= \frac{2(\sqrt{1-x})^2 - x}{ 2\sqrt{1-x}} = \frac{2(1-x) - x}{ 2\sqrt{1-x}} = \frac{2-3x}{ 2\sqrt{1-x}}$$ приравняем к 0 $$ \frac{2-3x}{ 2\sqrt{1-x}} =0 => 2-3x = 0 => x = \frac{2}{3}$$ функция имеет одну критическую (стационарную) точку, поэтому рассмотрим два интервала монотонности .
интервал \((-\infty; \frac{2}{3})\) найдем значение производной функции в любой точке интервала \(f(-1) = \frac{2-3(-1)}{ 2\sqrt{1-(-1)}} > 0\), на этом интервале производная функции положительная \(f'(x) > 0 \), функция возрастает.
интервал \(( \frac{2}{3}; 1)\) найдем значение производной функции в любой точке интервала \(f(0.9) = \frac{2-3(0.9)}{ 2\sqrt{1-(0.9)}} < 0\), на этом интервале производная функции отрицательная \(f'(x) < 0 \), функция убывает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку. Для критической точки \(x = \frac{2}{3} \) получили,
\( + \quad 0 \quad -\), т.е. функция имеет точку максимума с координатами \( (\frac{2}{3}; \frac{2}{3 \sqrt{3}}) \)
6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (\frac{2-3x}{ 2\sqrt{1-x}})' = \frac{-3\sqrt{1-x} + \frac{1}{ 2\sqrt{1-x}}(2-3x)}{2(1-x)} =$$$$= \frac{-6(1-x) + 2-3x}{4(1-x)^{\frac{3}{2}}} = \frac{3x-4}{4(1-x)^{\frac{3}{2}}} $$ Приравняем к нулю $$ \frac{3x-4}{4(1-x)^{\frac{3}{2}}} = 0 => 3x-4 = 0 => x = \frac{4}{3}$$ Получили точку \(x = \frac{4}{3} \) - точка вышла за пределы ОДЗ. Рассмотрим интервалы выпуклости на ОДЗ:
1. интервал \((-\infty; 1)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(0) = \frac{3*0-4}{4(1-0)^{\frac{3}{2}}} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
Точки перегиба.
Функция не имеет точек возможного перегиба, т.е. точек в которых вторая производная равна нулю (полученная точка не попала в ОДЗ), поэтому точек перегиба нет.
7. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. Нет (нет точек разрыва п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= x \sqrt{1-x}\) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его (ищем предел на \( -\infty\), т.е. на ОДЗ) $$ \lim_{x \to -\infty} x \sqrt{1-x} = \infty => k= \infty$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ Т.к. первый предел равен \( \infty\), второй искать не нужно. Наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$\lim_{x \to -\infty} x \sqrt{1-x} = - \infty $$т.е. кривая горизонтальных асимптот не имеет
8. График функции.
