Согласно теоремы Ферма, если точка \(x_0\) является экстремумом, то производная в этой точке не существует или \(f'(x_0)=0\). Найдем производную функции и приравняем ее к 0.$$f'(x)=(e^{2x}(3x+2))'=2e^{2x}*(3x+2)+3*e^{2x}=$$$$=e^{2x}(2*(3x+2)+3)=e^{2x}(6x+4+3)=e^{2x}(6x+7)$$приравняем к 0 $$ f'(x)e^{2x}(6x+7)=0 =>x=-\frac{7}{6}$$ Теперь определим, является ли это точка локальным максимумом или минимумом. Для этого найдем значения производной справа и слева от экстремума.
- \(x=0 =>f'(x)_+ =e^{2x}(6x+7) = 7 >0\)
- \(x=-2 =>f'(x)_- =e^{2x}(6x+7) = e^{-4}(6*(-2)+7)=-5*e^{-4}<0\)
т.к. производная меняет знак с - на + то это точка локального минимума. На основании этого можно записать и интервалы монотонности
- \((-\infty; -\frac{7}{6})\) - функция монотонно убывает.
- \( (-\frac{7}{6}; +\infty) \) - функция монотонно возрастает.
